??x＝2cos α
1．(2018·益阳、湘潭调研)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为?(α为
?y＝sin α?
参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标π1
θ＋?＝.直线l与曲线C交于A，B两点． 方程为ρcos??3?2
(1)求直线l的直角坐标方程； (2)设点P(1，0)，求|PA|·|PB|的值．
π1ππ1
θ＋?＝得ρcos θcos －ρsin θsin ＝， 解：(1)由ρcos??3?2332又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
所以直线l的直角坐标方程为x－3y－1＝0.
??x＝2cos α
(2)由?(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4，
?y＝sin α?
?x＝23t＋1因为P(1，0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为?(t为参数)，
1?y＝2t将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋43t－12＝0， 12
所以t1·t2＝－，
7故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝
12
. 7
??x＝3cos θ
2．(2018·合肥第一次质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1：?(θ为参数)，
?y＝2sin θ?
在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ－2cos θ＝0.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值． 解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0.
因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，所以x2＋y2－2x＝0， 即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1，0)，半径为1. 设曲线C1的动点M(3cos θ，2sin θ)， 由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.
因为|MC2|＝（3cos θ－1）2＋4sin2θ＝5cos2θ－6cos θ＋5， 345
所以当cos θ＝时，|MC2|min＝，
55
所以|MN|min＝|MC2|min－1＝45
－1. 5
??x＝cos θ
3．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为?(θ为参
?y＝sin θ?
数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1. π
当α＝时，l与⊙O交于两点．
2
π?2?当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当??＜2?1＋k2?1，
解得k＜－1或k＞1， ππ?π3π
，或α∈?，?. 即α∈??42??24?π3π?综上，α的取值范围是??4，4?.
?x＝tcos απ3π(2)l的参数方程为?(t为参数，＜α＜)．
44?y＝－2＋tsin α
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝＝0.
于是tA＋tB＝22sin α，tP＝2sin α.
tA＋tB
，且tA，tB满足t2－22tsin α＋12
?x＝tPcos α，
又点P的坐标(x，y)满足?
?y＝－2＋tPsin α，
所以点P的轨迹的参数方程是
2
sin 2α2
?π3π
(α为参数，＜α＜)． ?4422
?y＝－2－2cos 2α
x＝
4．(2018·昆明调研)在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2，1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.
??x＝2＋tcos α
解：(1)直线l的参数方程为?(t为参数)．
?y＝1＋tsin α?
曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0， 3
由Δ＝(4cos α)2－4×3>0，得cos2α>，
4由根与系数的关系，
得t1＋t2＝－4cos α，t1·t2＝3，
由参数的几何意义知，|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，|PQ|＝|t1－t2|， 由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2， 则(t1＋t2)2＝5t1·t2， 得(－4cos α)2＝5×3，
153解得cos2α＝，满足cos2α>，
16411
所以sin2α＝，tan2α＝，
1615所以直线l的斜率k＝tan α＝±15
. 15
5．(一题多解)(2018·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1，0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程8cos θ是ρ＝. 1－cos2θ
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
π
(2)若α＝，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．
4
??x＝1＋tcos α
解：(1)由题知直线l的参数方程为?(t为参数)．
?y＝tsin α?
8cos θ
因为ρ＝，
1－cos2θ所以ρsin2θ＝8cos θ，
所以ρ2sin2θ＝8ρcos θ，即y2＝8x.
2
x＝1＋t?2π
(2)法一：当α＝时，直线l的参数方程为?(t为参数)，
42
?y＝2t代入y2＝8x可得t2－82t－16＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝82， t1·t2＝－16，
所以|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1·t2＝83. π2
又点O到直线AB的距离d＝1×sin ＝，
42112所以S△AOB＝|AB|×d＝×83×＝26.
222π
法二：当α＝时，直线l的方程为y＝x－1，
4设M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2??y＝8x，由?得y2＝8(y＋1)，即y2－8y－8＝0， ??y＝x－1，
??y1＋y2＝8，由根与系数的关系得?
?y1y2＝－8，?
1111
S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×（y1＋y2）2－4y1y2＝×82－4×（－8）＝×46＝26.
22226．(2018·陕西教学质量检测(一))在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
??x＝tcos α
?(t>0，α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线?y＝sin α?
π
θ＋?＝3. l的极坐标方程为2ρsin??4?
(1)当t＝1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值； (2)若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围． π
θ＋?＝3得ρsin θ＋ρcos θ＝3， 解：(1)由2ρsin??4?把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，
??x＝cos α
当t＝1时，曲线C的参数方程为?(α为参数)，
?y＝sin α?
消去参数得曲线C的普通方程为x2＋y2＝1，
|0＋0－3|32
所以曲线C为圆，且圆心为O，则点O到直线l的距离d＝＝，
2232所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1＋. 2(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的下方， 所以对任意的α∈R，tcos α＋sin α－3<0恒成立， 1
其中tan φ＝?恒成立， 即t2＋1cos(α－φ)<3?t??所以t2＋1<3， 又t>0，所以0 所以实数t的取值范围为(0，22)． ??x＝tcos α 7．(2018·福州模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C：?(α为参数，t>0)．在以O ?y＝sin α? π θ－?＝2. 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcos??4?(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围； (2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为 6 ＋2，求t的值． 2 π θ－?＝2，即ρcos θ＋ρsin θ＝2， 解：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos??4?所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝2. ?x＝tcos α? 因为曲线C的参数方程为?(α为参数，t>0)， ?y＝sin α? x22 所以曲线C的普通方程为2＋y＝1(t>0)， t x＋y＝2，?? 由?x22消去x得，(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0， ??t2＋y＝1，所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)<0， 又t>0，所以0 (2)由(1)知直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0， |tcos α＋sin α－2|故曲线C上的点(tcos α，sin α)到l的距离d＝， 2t2＋1＋2 故d的最大值为， 2t2＋1＋26 由题设得＝＋2. 22解得t＝±2. 又t>0，所以t＝2. ??x＝2cos α 8．(2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(α ?y＝2＋2sin α? 为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ(ρ≥0，0≤θ<π)． (1)写出曲线C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标； ππ|OA| ≤β≤?与曲线C1，C2分别交于点A，B(A，B异于原点)，求(2)射线θ＝β?的取值3??6|OB|范围．
2019届高考数学二轮复习专项二 专题七 1 第1讲 专题强化训练 含解析
