立体几何中的向量方法（Ⅰ）----证明平行与垂直
一、选择题
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则( )． A．l1∥l2
B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确 答案 B
2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( ) A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0) B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0) C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2) D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2) 解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直． 答案 B
35?15???
3．已知a＝?1，－，?，b＝?－3，λ，－?满足a∥b，则λ等于( )．
22?2???92
C．－ D．－
235
219
解析 由＝＝，可知λ＝.
－3λ152
－2
－
答案 B
4．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 ( )． A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 解析 若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2， B中a·n＝1＋5＝6，
C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0. 答案 D
5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是( )
3
2
A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1) B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1) D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2) 解析 两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为D. 答案 D
6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )．
解析 由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
?7＝2t－μ∴?5＝－t＋4μ，?λ＝3t－2μ答案 D
??17∴?μ＝
7
?λ＝65?7
t＝
337
.
7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1)
uuuruuur解析 对于选项A，PA＝(1,0,1)，则PA·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排
uuur?uuur1?1??
除A；对于选项B，PA＝?1，－4，?，则PA·n＝?1，－4，?·(3,1,2)＝0，
2?2???
uuur验证可知C、D均不满足PA·n＝0.
答案 B 二、填空题
8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则
l1与l2的位置关系是_______． 解析 ∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.
答案 平行
9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.
解析 直线l的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l的单位方向向量是 ?22?s＝±?0，，－?.
22???22?
答案 ±?0，，－?
22??
→
＝0的_______． →→??AP·AB＝0
解析 由?
→→??AP·AC＝0
→
→
→
→
→
10．已知点A，B，C∈平面α，点P?α，则AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC
→
→→→→→→→
，得AP·(AB－AC)＝0，即AP·CB＝0，亦即AP·BC＝0，
→→→→→→→→→
反之，若AP·BC＝0，则AP·(AC－AB)＝0?AP·AB＝AP·AC，未必等于0. 答案 充分不必要条件
→
11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________． 解析 设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)． →??AB·n＝0，则?→??AC·n＝0，
?2x＋2y＋z＝0，
即?
?4x＋5y＋3z＝0.
?x＝1，
2令z＝1，得?
?y＝－1，
?1?∴n＝?，－1，1?，
?2?
22?n?1
，－，?. ∴平面ABC的单位法向量为±＝±?333?|n|?
22??1
答案 ±?，－，?
33??3
12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________． 解析 由题知：→BP⊥→AB，→BP⊥→BC.
?
所以?→BP·→AB＝0，
?→BP·→BC＝0，
解得x＝
→AB·→BC＝0，
?1×3＋5×1＋－2×z＝0，
即?x－1＋5y＋－2×－3＝0，?3x－1＋y－3z＝0.
4015
，y＝－，z＝4. 77
答案
4015，－，4 77
三、解答题
13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
a，b，c.
解析 因为a∥b，所以
41
＝＝，解得x＝2，y＝－4， －2y－1
x这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．
又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)． 14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：
MN∥平面A1BD.
证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直
线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 1???1?
则M?0，1，?，N?，1，1?，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
2???2?→
1??1
于是MN＝?，0，?，
2??2
设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． ?x＋z＝0，
则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得?
?x＋y＝0.
→
→
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
→→
1??1
又MN·n＝?，0，?·(1，－1，－1)＝0，∴MN⊥n，又MN?平面A1BD，
2??2∴MN∥平面A1BD.
→→→→→
1111
法二 MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝(D1A1－D1D)＝DA1，
2222→→
∴MN∥DA1，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1， 又∵MN?平面A1BD，A1D?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
15．如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
→
→
→
(1)求证：E，B，F，D1四点共面；
高考数学总复习经典测试题解析版8.7立体几何中的向量方法(ⅰ)----证明平行与垂直
