第三章 连续时间信号的采样 序列 3.1 ?
?????n?xcosn???n????， ，
4?? 用采样模拟信号
???????t??txcost??。 ，
样本/而得到，采样率为10000
0c
?值以同样的采样率能得到每秒，问有哪两种可能的
??nx？该序列 ?
???????t2?xcostf?cost?f进行采样产生离散以采样率解：对模拟信号
0c0s
f??????0?nncos?x?nT2xk，整数又对任间时序列意，
ff????ssf??f?kf?的正弦波都会
4???f0??2?
scs
f????kfff?????????s00n?coscos22n ????
为产生相同的序列，对于 率 当以采样频s0???
???cosnxn??
f4s1??250??f?f?1252250? 均可。 rad/s或（样本/秒）， 0s08???2250250都能以同样的采
样率得到该序列。所以或取 0
????tnhh记作某一线性时不变连续时间滤波器的冲击响应，为某
一线性时不变离散3.2 令cd时间滤波器的冲击响应。 ?
?at
?t?0e?????hta求该连续时间滤波器的频率响应，并画出它的幅度特性。 若
?c0t0????????????tnThnTh?hab所给，求该离散时间滤波器的频率响应，并画出它若， 如
cdc
的幅度特性。
?
??c若给定a的值，作为T 的函数，求离散时间滤波器频率响应的最小幅度值。
）由连续时间信号的傅氏变换得：a（解：
1????Hj
c?j?a
)?H(j1ca1?0??? ?Hj c22??a?
(b) ccd??n????212??
cd
??????????nT?ThnThtn??Tht
?????????H?jkjHe?Tj???
?j
?T2T????k????k2???jj?H?? =
cTT????k?????? ?Hj?? =
cT??1???jH
a1??????0 ? = ?
d
ja?
d2min2
（c）若a为定值，当1 T??? 时，幅度最小为：
??
?j
?HeT的函数） （它是
??aT
cc
S(t)S(j?)?0，图P3.3-1表示一种多径信道的简单模型。假设3.3是带限的，
x(t)x[n]?x(nT)?? 采样得到的序列：，对用采样周期T
ccT
?
?
??)t?S()?S(t)?S(t)X(t dcccc? 延迟 d
图P3.3-1
x(t)S(j?)]nx[表示）。的傅里叶变换（用求 的傅里叶变换和（a） cc（b） 现在要用一个离散时
间系统来仿真该多径系统，选择该离散时间系统?j)H(es[n]?s(nT)r[n]?x(nT)。时，输出为的，使得当输入为cc?j?)H(e 和。表示的如图P3.3-2所示。求利用Td
?
)(eH
s[n]?s(nT)r[n]?x(nT) cc 图P3.3-2 ?
??h[n]。=T/2时，求上图的冲激响应当（i） =T和（ii）c（） dd???j?)e?S(j?)(1?(Xj?)? ）解：
?j
（acc?x[n]?x(nT) c??k2????k12?)j?(j?
d
?
d
?j
?)]}?Se)(1?(j?jF?X(e)?{x[nTT （F
cTTT??k?为傅氏变换符号，以下皆同）
（b）要用离散时间系统来模拟多径系统 ?
???jj)?F{x?X(e[(Sjn)H(e]})? cT??j??j ???ee?1)??H(? T） （??jj???e??e)1
d
当?T时，H( c （） d?1??njj????]1??ne?nh?[])(He?d?[][n
?
?
?2???
Tj??j ??e?)?当1?时，H(e2
d21?)nsin?(?1 2??njj
?????[nH(e)?ed]?[hn]?
1?2?)n?(?? 2 P3.4所示的系统有下列关系：3.4图4?
10??2?0?(j?)X ，；c)(nTn]?xx[ ；cn?]kx[y[n]?T 。??k?
C/cT
P3.4
图x(t)x[n]T值。能从（a）如果要避免混叠，即 中恢复，求系统最大允许的ch[n]。（b）求 ?
?j
)(eXn??y[n]的值。时）利用，求 c（T值，对该值有）是否存在任何 （d ?x(t]?)dty[n。 c?n???TT
?
值应该怎么选，才能使上式值，求其最大值。若不存在，试说明并给出如果有这样的有最好的近似。 解： ?
??2?。 （a）由采样定理可得：Ns?24?102??2?，得： 带入数据，即有
μs。 ，即：maxn]nx[?u]k?T?[n][xT][yn? b）（??k?h[n]?T?u[n]? 。．
n?
T?5(s5?10)T?T?50
?
??????0?jjkj )(e?TTx[k]e)??T?X(e?Xylim[n]?limTx[k] （c）
????0??0?n?n??????k???k?0j)eT?X([limyn]? ；（d）由（c）可得：??n??)dt?X(j0x(t) 同样有：。
cc??
???21??j?)X(eX(j?jk)又由采样定理可得：
cTTT??k? ：综合以上条件可得到如图
解3.4)X(j?c10?不混迭采样：ωj)eX(1/T0ω2ππ2?最大T时采样：ωj)eX(1/T0ω 3.4
图解0j)j0?X(TX(e) 只要保证采样后的即可，如上图所示的极限情况。c?2100??TTs 如图所示，符合条件的μ值：带通模信号傅叶有如c
max4?102???tx里这变换，立图P3.5所示的拟的一 3.5 个复杂
??????nTxnx???????。 。对该信号进行采样，得到序列???Xj0?????
c12
21
图
?j
?
P3.5
??????TnxeX ） 的傅立叶变换当，画出序列。（a?????txnx可以由（b） 不会引起混叠
2
失真的能用的最低采样频率是什么（也即是c 恢复）？
????txnx的系（c） 如果采样率大于
或等于由（b恢复）确定的采样率，试画出由c 统方框图，假设有（复数的）理想低通滤波器可资利用。??2?T????2 ， 解：(a) ?
2s?T2
??eX 如图所示
?j
??eX1???jXT????????TT???Ts???s?T???sTT???s?0???sTsT
?j
c
222111
）中图可以看出，要不引起混叠失真需满足( b) 由（a ?
????????? ，即 ss21?? 所以最低采样频率要不低于。 ）由恢复的系统方框图如
下所示：（c
序列到冲激串理想低通滤波器转换的??????txxtnxcs 采样周期T ?
????txXj?用采变换样周期信的模拟号叶示P3.6具3.6 一个有如图所的傅立
cc
?????nTnxT?2?x?.
采样形成序列c0
?????? ?aeX.
?j
画出傅立叶变换对 ,原信号必须恢复出来c
??????txnxb试画出该恢经过一个数字信道传输, 信号,在接收端
??????tx?nxc?
?
22 图P3.6
. ,假设可以采用理想滤波器复系统的方框图,并给出它的特性表示 ),恢复(问T在什么范围内用可从c0 ?
???Xj1??????
c
0000
?2???? 采样频率解: (a)
c
0sT
0
?T????
(b)
理想带通滤序列到冲击串的转换?????????j波器HtXtnXxrsr采样周期T ?
????tx?tx,则应使理想带通滤波器具有如下特性 若使:
cr
??0? ????T????Hj
0 ?2r?其余0?
?
c
????txnx恢复，则采样后信号频谱不混叠。由于本题的特殊性，可c）若可以由（知有两种
情况： ?
?2?即2???2?, <1> 00sT??T? ?0?2?即T???, <2>
0s?0
在许多的应用中，离散时间随机信号是经过对连续时间随机信号周期采样得到的。3.7本题{x(t)}所定义的连续时间平稳随关注的是随机信号采样定理的推导。今考虑一个随机变量a机过程，这里t是一个连续变量。自相关函数定义为： ?
?
???)}t()?x?)?E{x(t( xx功率谱密度是： ?
cc
?????j
????de()?)?(P?
xxxxcccc??
{x[n]}的集合所定义，变散时间随机过程由随机量这里样用周
cc
期采所得到的离x[n]?x(nT),T为采样周期。 a???)([n]是什么关系？和a （） xxxx（a） 利用连续时间过程的功率谱密度表示离散时间信号的功率谱密度。
离散时间信号处理奥本海姆第二版课后答案第三章
