选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）
【学习要点】
解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法
（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。
（2）双曲线有两种定义。第一定义中，r1?r2?2a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）
xaxa22?ybyb22?1(a?b?0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有
x0a2?y0b2k?0。
2222 （2）??1(a?0,b?0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有
x0a2?y0b2k?0
（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。 分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PH?PF，因而易发现，HAQPFB当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，解：（1）（2，2）
距离和最小。 选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 连PF，当A、P、F三点共线时，AP?PH?AP?PF最小，此时AF的方程为y?y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22)，（注：另一交点为(
（2）（
14,1）
12,?42?03?1(x?1) 即
2)，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）
过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，BQ?QF?BQ?QR最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y=4x2
得x=
14，∴Q(
14,1)
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 2例2、F是椭圆
x24?y为椭圆3?1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，Py（1）PA?PF的最小值为 APHF0Fx（2）PA?2PF的最小值为
′分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF?或准线作出来考虑问题。 解：（1）4-5
设另一焦点为F?，则F?(-1,0)连AF?,PF?
PA?PF?PA?2a?PF??2a?(PF??PA)?2a?AF??4?5
当P是F?A的延长线与椭圆的交点时, PA?PF取得最小值为4-5。 （2）3
作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=12，
∴PF?12PH,即2PF?PH
∴PA?2PF?PA?PH
、P、H三点共线时，其和最小，最小值为a2当Ac?xA?4?1?3
例3、动圆M与圆C2222
1:(x+1)+y=36内切,与圆C2:(x-1)+y=4外切,求圆心M的轨迹方程。 分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点y的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等CDM选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频A0B 院校库5 x上一动点。 共线（如图中于半径”（如选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 图中的MC?MD）。
解：如图，MC?MD，
∴AC?MA?MB?DB即6?MA?MB?2 ∴MA?MB?8 （*）
x2∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b=15轨迹方程为
2
16?y215?1
点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出
(x?1)?y22?(x?1)?y22?4，再移项，平方，?相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！
35例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。
分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。 解：sinC-sinB=
35sinA 2RsinC-2RsinB=
35BC
35·2RsinA
∴AB?AC?即AB?AC?6 （*）
∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为
x29?y216?1 （x>3）
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）
例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。
分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设A(x1，x1)，B(x2，x2)，AB中点M(x0，y0)
2
2
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 22?(x1?x2)2?(x12?x2)?9① ?则x?x?2x
?120②
?22?x1?x2?2y0③
由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9
即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)-(8x0-4y0)]·[1+(2x0)]=9
2
2
2
2∴4y0?4x0?91?4x20，
4y0?4x0?294x20?(4x0?1)?294x?120?1
≥29?1?5, y0?54
当4x02+1=3 即 x0??22时，(y0)min?54此时M(?25,)24
法二：如图，2MM32542?AA2?BB2?AF?BF?AB?3
1432∴MM2?， 即MM1??， yMAA10M1M2B∴MM1?， 当AB经过焦点F时取得最小值。 54B1B2x∴M到x轴的最短距离为 A2点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。
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x2m?y2m?1?1(2?m?5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、
C、D、设f(m)=AB?CD,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。
分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防 f(m)?(xB?xA)2?(xD?xC)2?2(xB?xA)?(xD?XC) ?2(xB?xC)?(xA?xD)
yCD ?2(xB?XC)
ABF10F2x此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。
解：（1）椭圆
x2m?y2m?1?1中，a=m，b=m-1，c=1，左焦点F1(-1,0) 222
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
2m2m?1设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-(2?m?5)
f(m)?AB?CD??2(xB?xA)?(xD?xC)2x1?x2?2?2m2m?1
2(x1?x2)?(xA?xC)?（2）f(m)?22m?1?12m?1?2(1?12m?1)
∴当m=5时，f(m)min?1092
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解圆锥曲线问题常用方法大全
