《概率论与数理统计》复习资料
一、填空题（15分）
题型一：概率分布的考察 【相关公式】（P379）
分布 （0—1）分布 参数 分布律或概率密度 数学期望（E） p 方差（D） 0?p?1 n?1 0?p?1P?X?k??pk(1?p)1?k,k?0,1 ?n?P{X?k}???pk(1?p)n?k, ?k?k?0,1,……,n?k?1?rk?rP{X?k}???p(1?p) ?r?1?k?r,r?1,……p(1?p) 二项分布 np np(1?p) r?1 负二项分布 0?p?1r pr(1?p) p21?p 2p几何分布 0?p?1 P?{X?k}?(1?p)k?1pk?1,2,…… 1 p?M??N?M?????k??n?k??N,M,aP{X?k}??N?nM (M?N)超几何分布 ??Nk??(n?N)k为整数,max?{0,n?N?M}?k?min{n,M} nMN?M??N?n??1????N??N?1?? 泊松分布 ??0 k! k?0,1,2,…… P{X?k}??ke??? ? 1,a?x?b b?aa?b 2均匀分布 a?b f(x)? 0,其他 (b?a)2 12【相关例题】
1、设X:U(a,b)，E(X)?2，D(Z)?1，则求a，b的值。 31解：QX:U(a,b),E(X)?2,D(X)?,根据性质：3a?b(b?a)21 ??2,?,a?b2123解得：a?1,b?3.2、已知X:b(n,p),E(X)?0.5,D(X)?0.45,则求n，p的值。
解：由题意得：np?0.5,np(1?p)?0.45 解得：p?0.1.
题型二：正态总体均值与方差的区间估计 【相关公式】（P163）
?2为已知,由枢轴量???X?z?/2??n??X??，得到?的一个置信水平为1-?的置信区间：?/n
【相关例题】
1、（样本容量已知）
已知总体X~N(?,0.81),X1,X2,……,X25为样本,且X?5,则?的置信度0.99的置信区间为：解：代入公式得： ?0.9????z?/2???5?z0.025???5?0.18?1.96???4.6472,5.3528??X?5n????2、（样本容量未知）
已知X:N(?,1),X1,X2,X3,,Xn为样本容量,若关于?的置信度0.95的置信区间?10.88,18.92?，求样本容量.解：由题意知：样本长度为7.84，则有： ???????X?z?X?z?7.84?z?3.92???????nnn2?2??2?代入数据，得：n?2?n?4.
题型三：方差的性质 【相关公式】（P103）
?1?D(C)?0,C为常数。 ?2?D(CX)?C2D(X),D(X?C)?D(X)，C为常数。?3?X,Y相互独立,D(X?Y)?D(X)?D(Y)【相关例题】 1、
已知X1，X2两变量，且X1:U(2,4),X2:N(0,9),X1,X2相互独立,求D(X1?2X2).
解：QX1~U(2,4),X2:(0,9)(b?a)21?D(X1?2X2)?D(X1)?4D(X2)??4?9?361232t分布、?分布的定义 题型四：
【相关公式】（P140、P138）
?1?设X:t?(0,1),Y:?2(n),且X,Y相互独立，则称随机变量XY/n服从自由度为n的t分布，记为t:t?n?.?2?设X1,X2,X3,……,Xn是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量
?2?X12?X22??Xn2服从自由度为n的?2分布,记为?2:?2?n?.【相关例题】
1、若X:(0,1),Y:?(4),且X,Y相互独立,2X:？ Y/n答：X:t(4) Y/n2、若变量X1,X2,X3,……,X30服从N?0,1?,则30?Xi?1302i:?
答：?Xi2:?2(30).
i?1
题型五：互不相容问题 【相关公式】（P4）
若A?B??,则称事件A与事件B是互不相容的。
【相关例题】
1、若P(A)?0.6,A,B互不相容,求P(AB).
解：QA,B互不相容?A?B???P(AB)?P(A(S?B))?P(A?AB)?P(A)?0.6
二、选择题（15分）
题型一：方差的性质 【相关公式】（见上，略） 【相关例题】（见上，略）
题型二：考察统计量定义（不能含有未知量） 题型三：考察概率密度函数的性质（见下，略）
题型四：和、乘、除以及条件概率密度（见下，略） 题型五：对区间估计的理解（P161） 题型六：正态分布和的分布 【相关公式】（P105） 【相关例题】
若X~N(0,2),Y~N(3,9),则?X?Y?~?
答：N(0?3,2?9)?N(3,11).
题型七：概率密度函数的应用 【相关例题】
2x,0?x?1 设X?f(x)? 0,其他
已知P{X?a}?P{X?a},则求a。
解：由题意，得：1?P{X?a}?P{X?a}1?P{X?a}?2a12a即有：2xdx?x|?0?02又Qa?0?a?22
三、解答题（70分）
题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。
【相关公式】 ? 全概率公式：
设实验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，……，Bn为S的划分，且P(Bi)>0,则有：P?A?=P?A|B1?P(B1)?P?A|B2?P?B2???…?P?A|Bn?P(Bn)其中有：P(B|A)?P(AB)。P(A)
特别地：当n=2时，有：P(A)?P(A|B)P(B)?P(A|B)PB.? 贝叶斯公式：
??设实验E的样本空间为S。A为E的事件,B1，B2，……，Bn为S的一个划分，且P?A??0，P?Bi??0(i?1,2,……,n),则有：P(Bi|A)?特别地：当n=2时，有：P(AB)P(A|B)P(B)P(B|A)??P(A)P(A|B)P(B)?P(A|B)P(B)【相关例题】
★1、P19 例5
某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂 1 2 3 次品率 0.02 0.01 0.03 提供原件的份额 0.15 0.80 0.05 P(BiA)P(A|Bi)P(Bi)?nP(A)?P(A|Bi)P(Bi)j?1设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区分标志。
问：
（1）在仓库中随机取一只元件，求它的次品率；
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