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小学数学奥数基础教程(四年级)目30讲全

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小学奥数基础教程(四年级)

=30(本)。根据题目条件,原来各 2.某数加上6,乘以6,减去6,组的图书为

其结果等于36,求这个数。

甲组有30+3=33(本), 3.在125×□÷3×8—1=1999中, 乙组有30—3+5=32(本), □内应填入什么数?

丙组有30—5=25(本)。

4.小乐爷爷今年的年龄数减去15 后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100。问:小乐爷爷今年多少

岁?

5.粮库内有一批面粉,第一次运店时,我还有4元钱。问:进A商店出总数的一半多3吨,第二次运出剩时我身上有多少钱?

下的一半少7吨,还剩4吨。问:粮

库里原有面粉多少吨?

6.有一筐梨,甲取一半又一个,

乙取余下的一半又一个,丙再取余下的一半又一个,这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8.80元,那么每个梨值多少钱?

桔子。问:树上原来有桔子多少

个?

8.某人去银行取款,第1次取了

存款的一半还多5元,第二次取了余下的一半还多10元,这时存折上还剩 =18(元)

125元。问:此人原有存款多少元? 答:进A商店时我身上有18元。 第23讲 还原问题(二)

例6一捆电线,第一次用去全长的一 上一讲我们讲了还原问题的基本半多3米,第二次用去余下的一半少思想和解法,下面再讲一些较复杂的10米,第三次用去15米,最后还剩7还原问题和列表逆推法。

米,这捆电线原有多少米? 例1有一堆棋子,把它四等分后剩下 分析:由逆推法知,第二次用完一枚,取走三份又一枚;剩下的再四还剩下15+7=22(米),第一次用完等分又剩一枚,再取走三份又一枚;还剩下(22—10)×2=24(米),原剩下的再四等分又剩一枚。问:原来来电线长(24+3)×2=54(米)。 至少有多少枚棋子?

解:[(15+7—10)×2+3]×2=分析与解:棋子最少的情况是最后一54(米)。

次四等分时每份为1枚。由此逆推, 答:这捆电线原有54米。 得到

练习22

第三次分之前有1×4+1=5 1.某数加上11,减去12,乘以13,(枚),

除以14,其结果等于26,这个数是多 第二次分之前有5×1+1=21少?

(枚),

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第一次分之前有21×4+1=85(枚)。

所以原来至少有85枚棋子。 例2袋里有若干个球,小明每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操作了5次,袋中还有3个球。问:袋中原有多少个球?

分析与解:利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3个,第4次操作后有(3—1)×2=4(个),第3次??为了简洁清楚,可以列表逆推如下:

所以原来袋中有34个球。

例3三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆;再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆;最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时,三堆苹果数恰好相等。问:三堆苹果原来各有多少个?

分析与解:由题意知,最后每堆苹果都是48÷3=16(个),由此向前逆推如下表:

原来第一、二、三堆依次有22,14,12个苹果。

逆推时注意,每次变化中,有一堆未动;有一堆增加了一倍,逆推时应除以2;另一堆减少了增加一倍那堆增加的数,逆推时应使用加法。 例4有甲、乙、丙三个油桶,各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶,使它们各增加原有油的一倍;再

将乙桶油倒入丙、甲两桶,使它们的油各增加一倍;最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时,各桶油都是16千克。问:各桶原有油多少千克?

分析与解:与例3类似,列表逆推如下:

原来甲、乙、丙桶分别有油26,14,8千克。

逆推时注意,每次变化时,有两桶各增加了一倍,逆推时应分别除以2;另一桶减少了上述两桶增加的数,逆推时应使用加法。

例5兄弟三人分24个桔子,每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二,接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大,最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三,这时每人的桔子数恰好相同。问:兄弟三人的年龄各多少岁? 分析与解:由于总共有24个桔子,最后三人所得到的桔子数相等,因此每人最后都有24÷3=8(个)桔子。由此列表逆推如下表:

由上表看出,老大、老二、老三原来分别有桔子13,7,4个,现在的年龄依次为16,10,7岁。 逆推时注意,拿出桔子的人其桔子数减少了一半,逆推时应乘以2;另两人各增加拿出桔子的人拿出桔子数的一半,逆推时应减去拿出桔子数的一半。

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练习23

编一本书的页码,一共需要多少 1.有一堆桃,第一只猴拿走其中个数码呢?反过来,知道编一本书的的一半加半个,第二只猴又拿走剩下页码所需的数码数量,求这本书的页的一半加半个,第三、四、五只猴照数。这是页码问题中的两个基本内容。 此方式办理,最后还剩下一个桃。问: 为了顺利地解答页码问题,我们原来有多少个桃?

先看一下“数”与“组成它的数码个

数”之间的关系。一位数共有9个,组成所有的一位数需要9个数码;两

位数共有90个,组成所有的两位数需要2×90=180(个)数码;三位数共 问:这堆西瓜原来有多少个? 有900个,组成所有的三位数需要3 3.甲、乙两粮库各有大米若干吨,×900=2700(个)数码??为了清楚先是甲库运出一半给乙库,然后乙库

起见,我们将n位数的个数、组成所

有n位数需要的数码个数、组成所有不大于n位的数需要的数码个数之间

的关系列表如下:

525吨,乙库有大米775吨。问: 由上表看出,如果一本书不足100最初甲、乙两库各有大米多少吨? 页,那么排这本书的页码所需的数码 4.书架有上、中、下三层,一共个数不会超过189个;如果某本书排放了192本书。先从上层取出与中层的页码用了10000个数码,因为 同样多的书放到中层,再从中层取出 2889<10000<38889,所以这本与下层同样多的书放到下层,最后从书肯定是上千页。

下层取出与上层现有的同样多的书放 下面,我们看几道例题。 到上层,这时三层的书刚好相等。问:例1一本书共204页,需多少个数码这个书架上、中、下三层原来各有多编页码?

少本书?

分析与解:1~9页每页上的页码是一 5.甲、乙、丙三人各有若干元钱,位数,共需数码 甲拿出一半平分给乙、丙,乙又拿出 1×9=9(个);

现有的一半平分给甲、丙,最后丙又 10~99页每页上的页码是两位拿出现有的一半平分给甲、乙。这时数,共需数码

他们各有240元。问:甲、乙、丙三 2×90=180(个);

人原来各有多少钱?

100~204页每页上的页码是三位

数,共需数码

(204-100+1)×3=105×3=315

(个)。

综上所述,这本书共需数码

9+180+315=504(个)。 例2一本小说的页码,在排版时必须

用2211个数码。问:这本书共有多少页?

水。问:三个桶中原来各有多少升水? 分析:因为189<2211<2889,所 第24讲 页码问题

以这本书有几百页。由前面的分析知 顾名思义,页码问题与图书的页道,这本书在排三位数的页码时用了码有密切联系。事实上,页码问题就数码(2211-189)个,所以三位数的是根据书的页码而编制出来的一类应页数有

用题。

(2211-189)÷3=674(页)。

因为不到三位的页数有99页,所以这本书共有

99+674=773(页)。 解:99+(2211——189)÷3=773(页)。

答:这本书共有773页。 例3一本书的页码从1至62、即共有62页。在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码被错误地多加了一次。结果,得到的和数为2000。问:这个被多加了一次的页码是几? 分析与解:因为这本书的页码从1至62,所以这本书的全书页码之和为 1+2+?+61+62 =62×(62+1)÷2 =31×63 =1953。

由于多加了一个页码之后,所得到的和数为2000,所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码,是 2000——1953=47。

例4有一本48页的书,中间缺了一张,小明将残书的页码相加,得到1131。老师说小明计算错了,你知道为什么吗?

分析与解:48页书的所有页码数之和为

1+2+?+48 =48×(48+1)÷2 =1176。

按照小明的计算,中间缺的这一张上的两个页码之和为1176——1131=45。这两个页码应该是22页和23页。但是按照印刷的规定,书的正文从第1页起,即单数页印在正面,偶数页印在反面,所以任何一张上的两个页码,都是奇数在前,偶数在后,也就是说奇数小偶数大。小明计算出来的是缺22页和23页,这是不可能的。

例5将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数:1234567891011l2?问:左起第2000位上的数字是多少?

分析与解:本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码?”因为(2000-189)÷3=603??2,所以2000个数码排到第99+603+1=703

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(页)的第2个数码“0”。所以本题的第2000位数是0。

例6排一本400页的书的页码,共需要多少个数码“0”?

分析与解:将1~400分为四组: 1~100,101~200,201~300,301~400。

在1~100中共出现11次0,其余各组每组都比1~100多出现9次0,即每组出现20次0。所以共需要数码“0”

11+20×3=71(个)。 练习24

1.一本书共有40页,那么共需要多少个数码编页码?

2.一本书共有200页,那么共需要多少个数码编页码?

3.排一本小说的页码,需要用2202个数码,这本书共有多少页? 4.一本书的页码为1至62,即共有62页。在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码漏加了。结果,得到的和数为1939。问:这个被漏加的页码是几?

5.有一本96页的书,中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加,那么可能得到偶数吗?

6.将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数: 1234567891011121314? 问:左起第1000位数是几? 7.有一本科幻故事书,每四页中,有一页为文字,其余三页为图画。如果第一页为图画,那么第二、三页也是图画,第四页为文字,第五、六、七页又为图画,依此类推。如果第一页为文字,那么第二、三、四页为图画,第五页为文字,第六、七、八页又为图画,依此类推。试问: (1)假如这本书有96页,且第一页是图画,那么这本书多少页有图画?

(2)假如这本书有99页,那么多少页有图画? 第25讲 智取火柴

在数学游戏中有一类取火柴游戏,它有很多种玩法,由于游戏的规则不同,取胜的方法也就不同。但不

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论哪种玩法,要想取胜,一定离不开用数学思想去推算。

例1桌子上放着60根火柴,甲、乙二人轮流每次取走1~3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法,甲先取,那么谁将获胜? 分析与解:本题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根;往前逆推,在倒数第二次取时,必须留给对方4根,此时无论对方取1,2或3根,获胜方都可以取走最后一根;再往前逆推,获胜方要想留给对方4根,在倒数第三次取时,必须留给对方8根??由此可知,获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根,则必胜。现在桌上有60根火柴,甲先取,不可能留给乙4的倍数根,而甲每次取完后,乙再取都可以留给甲4的倍数根,所以在双方都采用最佳策略的情况下,乙必胜。

在例1中为什么一定要留给对方4的倍数根,而不是5的倍数根或其它倍数根呢?关键在于规定每次只能取1~3根,1+3=4,在两人紧接着的两次取火柴中,后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点,就能分析出谁采用最佳方法必胜,最佳方法是什么。由此出发,对于例1的各种变化,都能分析出谁能获胜及获胜的方法。

例2在例1中将“每次取走1~3根”改为“每次取走1~6根”,其余不变,情形会怎样?

分析与解:由例1的分析知,只要始终留给对方(1+6=)7的倍数根火柴,就一定获胜。因为60÷7=8??4,所以只要甲第一次取走4根,剩下56根火柴是7的倍数,以后总留给乙7的倍数根火柴,甲必胜。

由例2看出,在每次取1~n根火柴,取到最后一根火柴者获胜的规定下,谁能做到总给对方留下(1+n)的倍数根火柴,谁将获胜。

例3将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”,其余不变,情形又将如何? 分析与解:最后留给对方1根火柴者必胜。按照例1中的逆推的方法分析,

只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取,只要第一次取3根,剩下57根(57除以4余1),以后每次都将除以4余1的根数留给乙,甲必胜。

由例3看出,在每次取1~n根火柴,取到最后一根火柴者为负的规定下,谁能做到总给对方留下(1+n)的倍数加1根火柴,谁将获胜。 有许多游戏虽然不是取火柴的形式,但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。

例4两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数,每人每次只能报1~5个数,谁先报到50谁胜。你选择先报数还是后报数?怎样才能获胜?

分析与解:对照例1、例2可以看出,本例是取火柴游戏的变形。因为50÷(1+5)=8??2,所以要想获胜,应选择先报,第一次报2个数,剩下48个数是(1+5=)6的倍数,以后总把6的倍数个数留给对方,必胜。 例51111个空格排成一行,最左端空格中放有一枚棋子,甲先乙后轮流向右移动棋子,每次移动1~7格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜,第一步必须向右移多少格? 分析与解:本例是例3的变形,但应注意,一开始棋子已占一格,棋子的右面只有1111-1=1110(个)空格。由例3知,只要甲始终留给乙(1+7=)8的倍数加1格,就可获胜。 (111-1)÷(1+7)=138??6, 所以甲第一步必须移5格,还剩下1105格,1105是8的倍数加1。以后无论乙移几格,甲下次移的格数与乙移的格数之和是8,甲就必胜。因为甲移完后,给乙留下的空格数永远是8的倍数加1。

例6今有两堆火柴,一堆35根,另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取,取的根数不限,但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问:先取者有何策略能获胜?

分析与解:本题虽然也是取火柴问题,但由于火柴的堆数多于一堆,故本题的获胜策略与前面的例题完全不同。

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先取者在35根一堆火柴中取11根火柴,使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴,你只须在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取,你也有火柴可取,也就是说,最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者总可获胜。 请同学们想一想,如果在上面玩法中,两堆火柴数目一开始就相同,例如两堆都是35根火柴,那么先取者还能获胜吗?

例7有3堆火柴,分别有1根、2根与3根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴,取的根数不限,规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。如果采用最佳方法,那么谁将获胜? 分析与解:根据例6的解法,谁在某次取过火柴之后,恰好留下两堆数目相等的火柴,谁就能取胜。 甲先取,共有六种取法:从第1堆里取1根,从第2堆里取1根或2根;第3堆里取1根、2根或3根。无论哪种取法,乙采取正确的取法,都可以留下两堆数目相等的火柴(同学们不妨自己试试),所以乙采用最佳方法一定获胜。 练习25

1.桌上有30根火柴,两人轮流从中拿取,规定每人每次可取1~3根,且取最后一根者为赢。问:先取者如何拿才能保证获胜?

2.有1999个球,甲、乙两人轮流取球,每人每次至少取一个,最多取5个,取到最后一个球的人为输。如果甲先取,那么谁将获胜?

3.甲、乙二人轮流报数,甲先乙后,每次每人报1~4个数,谁报到第888个数谁胜。谁将获胜?怎样获胜? 4.有两堆枚数相等的棋子,甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取,取的枚数不限,但不能不取,谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取,那么他一定能获胜吗?

5.黑板上写着一排相连的自然数1,2,3,?,51。甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了,谁就算取胜。问:甲有必胜的策略吗?

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6.有三行棋子,分别有1,2,4枚棋子,两人轮流取,每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子,谁取走最后一枚棋子谁胜。问:要想获胜是先取还是后取? 第26讲 逻辑问题(一)

在日常生活中,有些问题常常要求我们主要通过分析和推理,而不是计算得出正确的结论。这类判断、推理问题,就叫做逻辑推理问题,简称逻辑问题。这类题目与我们学过的数学题目有很大不同,题中往往没有数字和图形,也不用我们学过的数学计算方法,而是根据已知条件,分析推理,得到答案。

本讲介绍利用列表法求解逻辑问题。

例1小王、小张和小李一位是工人,一位是农民,一位是教师,现在只知道:小李比教师年龄大;小王与农民不同岁;农民比小张年龄小。问:谁是工人?谁是农民?谁是教师? 分析与解:由题目条件可以知道:小李不是教师,小王不是农民,小张不是农民。由此得到左下表。表格中打“√”表示肯定,打“×”表示否定。

因为左上表中,任一行、任一列只能有一个“√”,其余是“×”,所以小李是农民,于是得到右上表。 因为农民小李比小张年龄小,又小李比教师年龄大,所以小张比教师年龄大,即小张不是教师。因此得到左下表,从而得到右下表,即小张是工人,小李是农民,小王是教师。

例1中采用列表法,使得各种关系更明确。为了讲解清楚,例题中画了几个表,实际解题时,不用画这么多表,只在一个表中先后画出各种关系即可。需要注意的是:①第一步应将题目条件给出的关系画在表上,然后再依次将分析推理出的关系画在表上;②每行每列只能有一个“√”,如果

出现了一个“√”,它所在的行和列的其余格中都应画“×”。

在下面的例题中,“√”和“×”的含义是很明显的,不再单独解释。 例2刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹,六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定:兄妹二人不许搭伴。

第一盘:刘刚和小丽对李强和小英;

第二盘:李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。问:三个男孩的妹妹分别是谁?

分析与解:因为兄妹二人不许搭伴,所以题目条件表明:刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹。由第二盘看出,小红不是马辉的妹妹。将这些关系画在左下表中,由左下表可得右下表。

刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹。

例3甲、乙、丙每人有两个外号,人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。此外: (1)数学博士夸跳高冠军跳得高; (2)跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影;

(3)短跑健将请小画家画贺年卡; (4)数学博士和小画家很要好; (5)乙向大作家借过书; (6)丙下象棋常赢乙和小画家。 你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗?

分析与解:由(2)知,甲不是跳高冠军和大作家;由(5)知,乙不是大作家;由(6)知,丙、乙都不是小画家。由此可得到下表:

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因为甲是小画家,所以由(3)(4)知甲不是短跑健将和数学博士,推知甲是歌唱家。因为丙是大作家,所以由(2)知丙不是跳高冠军,推知乙是跳高冠军。因为乙是跳高冠军,所以由(1)知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表,便得到下表:

所以,甲是小画家和歌唱家,乙是短跑健将和跳高冠军,丙是数学博士和大作家。

例4张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作,他们的职业是工人、农民和教师,已知:(1)张明不在北京

工作,席辉不在上海工作; (2)在北京工作的不是教师; (3)在上海工作的是工人; (4)席辉不是农民。

问:这三人各住哪里?各是什么职业?

分析与解:与前面的例题相比,这道题的关系要复杂一些,要求我们通过推理,弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系。三者的关系需要两两构造三个表,即人物与地点,人物与职业,地点与职业三个表。 我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示,由条件(1)得到表1,由条件(4)得到表2,由条件(2)(3)得到表3。

因为各表中,每行每列只能有一个“√”,所以表(3)可填全为表(4)。

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因为席辉不在上海工作,在上海工作的是工人,所以席辉不是工人,他又不是农民,所以席辉是教师。再由表4知,教师住在天津,即席辉住在天津。至此,表1可填全为表5。

对照表5和表4,得到:张明住在上海是工人,席辉住在天津是教师,李刚住在北京是农民。 练习26

1.甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲不会英文,乙不懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问:甲、乙、丙分别是哪国的小朋友?

2.徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工,他们都是象棋迷。

(1)电工只和车工下棋; (2)王、陈两位师傅经常与木工下棋;

(3)徐师傅与电工下棋互有胜负; (4)陈师傅比钳工下得好。 问:徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种?

3.李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学,每人教两门。现知道: (1)顾锋最年轻;

(2)李波喜欢与体育老师、数学老师交谈;

(3)体育老师和图画老师都比政治老师年龄大;

(4)顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳;

(5)刘英与语文老师是邻居。 问:各人分别教哪两门课程? 4.A,B,C,D分别是中国、日本、美国和法国人。已知: (1)A和中国人是医生; (2)B和法国人是教师; (3)C和日本人职业不同;

小学数学奥数基础教程(四年级)目30讲全

小学奥数基础教程(四年级)=30(本)。根据题目条件,原来各2.某数加上6,乘以6,减去6,组的图书为其结果等于36,求这个数。甲组有30+3=33(本),3.在125×□÷3×8—1=1999中,乙组有30—3+5=32(本),□内应填入什么数?丙组有30—5=25(本)。4.小乐爷
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