第二节 二次函数
[选题明细表]
知识点、方法 二次函数的解析式 二次函数的图象 二次函数的性质 二次函数的应用 一、选择题
1.已知二次函数的图象如图所示,那么此函数的解析式可能是( C )
题号 1,10 3,6,8 2,5,7,12 4,9,11,13,14,15
(A)y=-x2+2x+1 (B)y=-x2-2x-1 (C)y=-x2-2x+1 (D)y=x2+2x+1
解析:由图象可知,开口向下,所以二次项系数为负数;又对称轴在y轴左侧,所以一次项系数为负数;且图象与y轴交点在y轴正半轴,故常数项为正数,综上可知,选C.
2.若函数y=x2-(1-2k)x+3在(1,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是( A )
(A)[-,+∞) (B)(-∞,-] (C)[,+∞) (D)(-∞,]
解析:因为函数y=x2-(1-2k)x+3的图象是开口向上的抛物线, 其对称轴方程为x=
,
,+∞),
所以函数y=x2-(1-2k)x+3的增区间是[
又因为函数y=x2-(1-2k)x+3在(1,+∞)上是增函数, 所以(1,+∞)?[可得
,+∞),
≤1,解得k≥-,
实数k的取值范围是[-,+∞),故选A. 3.函数y=ax2+bx与y=象可能是( D )
x(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图
解析:选项A,B中||<1,此时对数函数y=正确;
选项C中,||>1,此时对数函数y=选项D中,||<1,此时对数函数y=
x递减,所以A,B都不
x递增,所以C也不正确; x递减,所以D符合题意.故
选D.
4.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是( D ) (A)(0,1) (B)(0,) (C)(-1,0) (D)(-,0)
解析:任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立等价于 f(x)max<0,二次函数f(x)=x2+mx-1为开口向上的凹函数, 所以f(x)max=max{f(m),f(m+1)}, f(x)max=max{2m2-1,(m+1)2+m(m+1)-1}<0, 即
解得- 在R上为增函数,则实数b的取值范围 5.若函数f(x)=为( A ) (A)[1,2] (B)(,2] (C)(1,2] (D)(1,2) 解析:f1(x)=(2b-1)x+b-1(x>0),f2(x)=-x2+(2-b)x(x≤0),要使f(x)在R上为增函数,须有f1(x)递增,f2(x)递增,且f2(0)≤f1(0),即解得1≤b≤2.故选A. 6.已知二次函数f(x)的二次项系数为正数,且对任意x∈R,都有f(x)=f(4-x)成立,若f(1-2x2) (A)(2,+∞) (B)(-∞,-2)∪(0,2) (C)(-2,0) (D)(-∞,-2)∪(0,+∞) 解析:由f(x)=f(4-x)知,二次函数f(x)的对称轴为x=2; 因为二次项系数为正数, 所以二次函数图象的点与对称轴x=2的距离越大时,对应的函数值 越大, 所以由f(1-2x2) 7.(2024·浙江桐乡高三一模)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值为M,最小值为m,则M-m( B ) (A)与a有关,与b有关 (B)与a有关,与b无关 (C)与a无关,与b无关 (D)与a无关,与b有关 解析:函数f(x)=x2+ax+b的对称轴x=-, ①当->1或-<0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调,此时M-m=|f(0)-f(1)|=|a+1|,故M-m与a有关,与b无关; ②当≤-≤1时,函数f(x)在区间[0,-]上递减,在[-,1]上递增,且 f(0)>f(1),此时M-m=|f(0)-f(-)|=,故M-m与a有关,与b无关; ③当0≤-≤时,函数f(x)在区间[0,-]上递减,在[-,1]上递增,且f(0) 8.函数f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1的定义域被分成了四个不同的单调区间,则实数a的取值范围是( C ) (A)(,+∞) (B)(,) (C)(,+∞) (D)(-∞,) 解析:f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1是由函数f(x)=-x2+(2a-1)x+1变化得到,第一步保留y轴右侧的图象,再作关于y轴对称的图象.因为定义域被分成四个单调区间,所以f(x)=-x2+(2a-1)x+1的对称轴在y轴的右侧,使y轴右侧有两个单调区间,对称后有四个单调区间.所以二、填空题 9.已知二次函数f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.当不等式f(x)>0的解集为(-1,3)时,则实数a= ,b= . 解析:因为不等式-3x2+a(6-a)x+b>0的解集为(-1,3), 所以3x2-a(6-a)x-b<0的解集为(-1,3), 所以x1=-1,x2=3是方程3x2-a(6-a)x-b=0的两根. >0,即a>.
2024版高考数学导与练一轮复习(浙江版)：第四章 第二节 二次函数
