第二章 开放式光腔与高斯光束
?1 0??。 1. 证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为??1?0 ??2????
证明：设入射光线坐标参数为r1, ?1，出射光线坐标参数为r2, ?2，根据几何关系可知
r2?r1, ?1sin?1??2sin?2 傍轴光线sin??则?1?1??2?2，写成矩阵形式
?1 0??r2????r1? 得证 ??????0 1?????2???1??2????1?1 ?22. 证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为????0 1?d?。 ???
证明：设入射光线坐标参数为r1, ?1，出射光线坐标参数为r2, ?2，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得
?1?1 0??1 0??1 rrr1 d?2????????1? 化简后?2????2???????0 2??0 1??0 1????????????2???1??2??0 1?1??2???????d??r1??得证。 ????1???3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔的往返情况如下图所示：
word格式版本
其往返矩阵为：
?1?AB??T???2????CD??R?10??11L????2??1??01???????R20???1L?1??01?????由于是共焦腔，则有
R1?R2?L
将上式代入计算得往返矩阵
??10?T????0?1?nTn??TrTLTrTL?12 0? 0??A B?n?1n?1??????1??0 1????1??0 1? C D??????nn可以看出，光线在腔往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。 于是光线在腔往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 解：共轴球面腔稳定性条件0?g1g2?1其中g1?1?1?LL,g2?1? R1R2L，再根据稳定性条件 R2对平凹共轴球面镜腔有R1??,R2?0。则g1?1,g2?1?0?g1g2?1可得0?1?L?1?R2?L。 R2LL,g2?1?,根据稳定性条件R1R2对双凹共轴球面腔有，R1?0,R2?0则g1?1??0?R1?L??R1?LL??L??0?g1g2?1 可得0??1???1???1?? 或 ?0?R2?L。
?R2?L?R1??R2??R?R?L2?1对凹凸共轴球面镜腔有，R1?0,R2?0则g1?1?LL,g2?1??0,根据稳定性条件R1R2??R?LL??L?0?g1g2?1 可得0??1???1???1??1。
R?R?L?12?R1??R2?word格式版本
5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么围是稳定腔。
解：设两腔镜M1和M2的曲率半径分别为R1和R2，R1??1m,R2?2m 工作物质长l?0.5m，折射率??1.52
当腔放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为l,工作物质左右两边剩余的腔长分别为l1和l2，则l1?l?l2?L。设此时的等效腔长为L?，则光在腔先经历自由传播横向距离l1，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离l2，则
所以等效腔长等于 L??l2??10??1L1l101l????????1l1?2????01???01??0???01??01??01????????????????l??1l??l2?1?????1???0?l??l1?(L?l)?l?
再利用稳定性条件
L???L???0??1???1???1 (1)2??1??由(1)解出 2m?L??1m 则 所以得到：
L?L??0.5?(1?1)?L??0.171.521.17m 6. 图2.3所示三镜环形腔，已知l，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么围该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面传输的子午光线，式(2.2.7)中的F?(Rcos?)/2，对于在与此垂直的平面传输的弧矢光线， F?R/(2cos?)，?为光轴与球面镜法线的夹角。 word格式版本 图2.1 解： ?10??112l?AB??1l??????1?CD???01??1??1??01?????????F??F?4l4l22l2??1?F?F23l?F????222l??2l?1??F??F2l?13ll2?A?D??1??2 2FFl23l稳定条件 ?1?2??1?1 FF0??1?? l23l??2?02llFF左边有 所以有?2或?1 FF?l??l??2?1?0?????F??F?RRF?F子午?cos?对子午线： 对弧矢线： 弧矢2cos?2对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得 子午光线 弧矢光线 433l?R?24l或R?l33l3?R?l或R?3l2343343l?R?l或R?l923任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得 7. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，方形孔边长d?2a?0.12cm，λ=632.8nm， word格式版本 egl?1?3?10?40ld 镜的反射率为r1?1,r2?0.96，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择TEM00模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式 估算（l为放电管长度，假设l?L） TEM01模为第一高阶横模，解：并且假定TEM00和TEM01模的小信号增益系数相同，用g表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式 0eg0l0r1r2(1??00?0.003)?1 Ieglr1r2(1??01?0.003)?1 II根据已知条件求出腔的菲涅耳数 a20.062N???1.9?7L?30?632.8?10由图2.5.5可查得TEM00和TEM01模的单程衍射损耗为 氦氖增益由公式 计算。代入已知条件有eg0l?00?10?8.37?01?10?60egl?1?3?10?40Ld?1.075。将egl、?00、?01、r1和r2的值代入I、II式，两式 的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。 为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求 ?01?0.047 根据图2.5.5可以查出对应于?01的腔菲涅耳数 N'?0.90 由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长 2a?L?N'?2?300?632.8?10?6?0.9?0.83mm 同理利满足I式的条件可得2a?0.7mm 因此，只要选择小孔阑的边长满足0.7mm?2a?0.83mm即可实现TEM00模单模振荡。 word格式版本
激光原理第二章答案解析
