?Born to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
K?N?q?1?/? （8）
其中N是企业的数目。
?和K??K?K?。因为q?和K?保持不变，因此q和K分别等于q??q?q?和K?。可定义q????以将（2）和（8）写为：
??rq?a?bK （9） q?和：
??N?q?1?/? （10） k??得： 等式（9）两边同时除以q?rq?a?bKq （11） ???qq?从（5）式可得：
???bK?a?r?/b （12） K变形解出bK得：
? ?a?r （13） bK?bK将（13）式代入（10）式得：
??a?rr?q?1?bK???rq?a?bKqK????r?b （14） ?????qqqqq??q?q??q?1 上步用了q??1和 q?，并且代入q??1 等式（10）两边同除以K??N?Kq?????? （15） ???KK?的增长率仅依赖于q?的比率。考虑q?以同样的速?和K?和K?和K（14）和（15）意味着q?的比率保持不变，因此他们的增长率保持不变，q?以相?和K?和K度下降的影响。这意味着q?以相同的速率下降，经济将沿着一条直线的鞍点路?和K同的速率下降。根据相位图，因为q?径移动到?K??，q??。
?/K?等式（15）可以写为： 用?定义K?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
?的比值： ?与K解出q
Born to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
?q??????? （16）
??KN???q （17） ??NK?/K?。因此： 由（14）可以知道，q?/q?永远等于K????r??bN/??? （18）
或：
??2??r??bN?0 （19）
求解?得到：
2?r??2r2?4?bNr?r??4bN/????? （20）
2?2??t??q?t??q?和 K??t??K?t??K?是增长的，如果?是正的，则 q因此经济不是沿着一条
直线到达?K??，q??，而是沿着一条直线远离?K??，q??。因此?必须是负的，即：
r?r2??4bN/??2?1? （21）
方程（17）中???1说明q和K是如何在鞍点路径上相关的。将（21）代入（17）：
2???qq?q*??r?r??4bN/??? （22） ??*?2NK?KK求解q作为K的函数：
?r?r2??4bN/?????K?K*? （23） q?q???2N????*因此鞍点路径的斜率为：
?q?K?r?r2??4bN/?????0 （24） ???2N????SP
8.10 考虑第8.7节中利率不变且具有不确定性的投资模型。同习题8.9一样，假设
??K??a?bK，C?I???I2/2。此外，假设具有不确定性的是a的未来值。本题要求证明，当q?t?和K?t?在每个时点上的值与a的路径没有不确定性时，q?t?和K?t?的值相等，此时就达到一个均衡。具体来说，当a?t???肯定等于Et??a?t?????（对于所有??0）时，令985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
Born to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
??t???，t?和K??t???，t?分别为t时后q和K的路径。 q??t???，t?，那么对于所有??0，（a）证明：对于所有??0，如果Et??q?t??????q?Et??K?t??????K?t???，t?都成立。
??t?，t?，??t???，t?，（b）利用教材中方程（8.32）证明，如果Et?那么q?t??q?q?t??????q??t?，t?-1?从而k?t??N??q?/?，其中N为厂商的数目。
?证明：（a）考虑没有不确定性的情况：对于所有的??0，a?t????Et??a?t?????，在t??时刻，q可以写为q在t期的值加上q在t期到t??的变化的总和。更正式的：
??t???，t??q?t??q??s?t??t?s?，t?ds （1） ?q???t???，t?是当a确定的等于其预期值时q的值。因为 q?rq???K?，并且其中，qq?rq?a?bK，等式（1）可写成：
??t???，t??q?t??q??s?t??t?s?，t??Erq???t????a?t?s????bK?t?s?，t??ds （2）
???代表K的路径。 上步用了a?t?s??Et??a?t?s??? 和用K???现在考虑a?t???是不确定时的情况。q的期望值可以写为q在t期的值加上q在t期到t??的变化的总和：
???Et??q?t??????q?t???Et?q?t?s??ds （3） ??s?t??在教材的（8.34）中，Et?qt?rq?t????K?t??在各期都成立，因为??K??a?bK，???????所以有：
???Et?s?q?t?s???rq?t?s????t?s??bK?t?s? （4）
??在（4）两边取t期的期望值：
???Et?q?t?s???rEt??q?t?s????Et????t?s????bEt??K?t?s??? （5） ???????。将等式（5）代入等式（3）得：上步用了迭代期望法则，EtEt?1? qt?s?Eqt?s????t????????Et??q?t??????q?t???s?t?a?t?s????E??a?t?s????bE??K?t?s???????rE??ds （6）
ttt??t?? ，t?对所有??0都成立，如果Et?则对所有??0，等式（2）和等式（6）?q?t??????q的右边相等。有：
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
q?t???s?t
tBorn to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
???a?t?s????bK?t?s?，t?????rq?t?s?，t??E??ds?? （7）
?????????q?t??s?t?a?t?s????E??a?t?s????bE??K?t?s???????rE??dsttt??t???，t?，等式（7）可化简为： 利用Et??q?t??????q?b?s?t??t?s?，t?ds?bE?a?t?s??ds （8） K??t?s?t?消去b项，运用莱布尼兹法则对（8）式两边关于?求导：
??t???，t??E?K?t???? （9） Kt??方程（9）对于所有的??0都成立。
（b）考虑没有不确定性的情况，对于所有的??0，??t????Et????t?????。由教材中方程（8.24），可以将t期资本的市场价值写为未来边际产品收益的贴现值：
??t?，t??q?e???0?r???Et???bK?t???，t????a?t?????d? （10）
??t?，t?代表q的其中用了??K??a?bK和a?t????Et?在a等于其期望值时，q?a?t?????，??t???，t?与（a）部分的结论相同，它是确定性情况下的K的值。 值，而K考虑a?t???不确定的情形，运用公式（8.32）??K??a?bK得：
q?t???e???0?r???a?t??????bEt??K?t???????Et??d? （11）
正如（a）部分所述，Et?t??????q????q??t?，?对t所有??0成立，则有
?这就意味着等式（10）和等式（11）的右边相等，Et??K?t?????=K?t???，t?对所有??0成立。??t?，t?。对于?是线性和不确定的情况，资本的市场价值与不确定性的情况一致。即q?t??q
即使对于不确定性的情况，每个公司投资到取得一单位新资本的成本等于资本的市场价
值，即投资满足：
1?C??I?t???q?t? （12）
??t?，t?，等式（12）可重写成： 因为C??I2/2，C??I???I，另外q?t?? q??t?，t? （13） 1??I?t??q由定义可以知道，每个公司资本存量的变化为I?t?。因为每个公司面临着同样的
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
入等式（13）得；
Born to win
经济学考研交流群 <<<点击加入
???t?，t?，它们选择同样的投资水平。因此总资本存量的变化为K?t??NI?t?，将该表达式代q??t?，t? （14） 1??K?t?/N?q?解得：
??t?，t??1?K?t??N??q?/? （15）
?在这些特殊情况下，当?是线性的，调整成本是二次型的，如果?函数的未来值确定性的等价于它们的期望值，投资与不确定性的情况一样。
??0轨迹，8.11 考虑第8.8节中存在带拐折的调整成本的投资模型。描述如下变化对q对K?0轨迹的影响。以及在变化发生时刻它们对q与K的影响。在此期间，对q与K的行为的影响。在每种情形中，假设q与K的初始处在教材图8.13中的点E?上。
（a）??????函数发生永久性的上移。 （b）利率的小幅且永久性的上升。
（c）第一单位正投资的成本C?上升。 （d）第一单位正投资的成本C?下降。 答：（a）资本的市场价值动态方程为：
q?t??rq?t????K?t?? （1）
??其中，????????0。q?0要求：
q???K?/r （2）
???????发生永久性的上移，这意味着在任何既定的K下，使得q的q值将变得更高。假定对于任何既定的K，???K?仍相同，而q?0的轨迹将上移，而斜率保持不变。因为C?和
C都不变，所以使得K?0的q值的范围不变。
??????如图8-8所示，经济始于点E?，资本存量等于K1，q?1?C?。q?0轨迹上移。?????函数发生永久性的上移时，资本存量K无法不连续地跃升。
985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
罗默《高级宏观经济学》（第3版）课后习题详解（第8章 投 资）
