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8.5 考虑第8.2～8.5节中的投资模型。描述下面各种变化对K?0轨迹和q?0轨迹的影响，以及变化发生时对K和q与K和q随时间的行为影响。在所有情形下，假设K和q一开始处于长期均衡值上。
（a）一半的资本存量毁于战争。
（b）政府以税率?对来自公司所有权的收益征税。
（c）政府对投资征税。具体来说，厂商每得到1单位资本就向政府支付?；每减少1单位资本就获得补贴?。
答：资本的市场价值q的运动方程为：
q?t??rq?t????K?t?? （1）
???此时????????0，由条件q?0可以推出：
q???K?/r （2）
?资本K的运动方程为：
K?t??f?q?t?? （3）
?此时f?q??NC??1?q?1?，f?1??0和f????·??0，要求K?0，则有：
q?1 （4）
?（a）一半的资本存量被摧毁并不会导致K?0轨迹和q?0轨迹的移动。在资本被摧毁时，K下降为K0?K/2。如图8-1所示。
??
图8-1 一半资本被毁的投资模型
对于经济返回到稳定状态，q必须调整以确保经济在鞍点路径上。因此q必须跳到q0，使得经济位于图8-1中的A点上。因为当资本降低时，利润会上升，在图左边的资本更加有价值，因此资本的市场价值更高了。
随着q下降和K上升，经济沿着鞍点路径向下移动。当资本的市场价值提高时便会吸引投资，因而资本存量开始回升，同时利润开始下降，进而资本市场价值开始下降。这一过程一直持续到资本的市场价值返回到长期均衡价值并且资本存量返回到原先的水平。因此经济最终返回到E点。
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?（b）给定资本K时，利润为?1?????K?而不是??K?。条件q?0变为：
q??1-????K?/r （5）
在给定K时，使得q?0的q的价值降低了，因此新的q?0位于原来的图线下面。除此以外，q?0曲线的斜率为?q/?K??1??????K?/r ，而不是???K?/r 。因为?1????1，新的斜率负数变小，因此q?0变的更加平坦了。K?0的位置不受影响。如图8-2所示。
?????
图8-2 对所有权收益征税的投资模型
在税收开始执行时，资本存量K不会跳跃。因此q必须向下跳跃以保证经济在新的均衡增长路径的A点。因为政府拿走了利润的一部分，现存资本的市场价值变小。随着K下降而q上升，经济向上移动到新的鞍点路径上。资本的市场价值的降低会阻碍投资，因此资本存量下降，利润开始回升，而资本的市场价值也开始回升。这一过程一直持续到资本的市场价值返回到长期均衡值，而资本存量在一个永久性低的水平上。经济保持在ENEW点上。资本存量的降低和资本税前利润的升高抵消了政府取走一部分利润的影响。
（c）一个最优化的条件是：公司投资资本的成本等于资本的价值。对于投资税，取得一单位资本的成本为购买价格（固定为1）加上税收?，加上边际调整成本C??I?。因此有：
1???C??I?t???q?t? （6）
因为C??0?为0，当q?1??时，方程（6）意味着I?t??0即K?0。因此K?0位于：
q?1?? （7）
??因此投资税?将K?0向上移动了?。而q?0的位置不受影响。如图8-3所示。
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图8-3 政府对投资征税的投资模型
在税收开始执行时，资本存量K不会跳跃。因此q必须向上跳跃以保证经济在新的均衡增长路径的A点。因为税收将降低投资，这意味着产业的利润将提高，因此现存的资本更加有价值。经济移动到新的均衡增长路径直到到达点ENEW。资本存量永久性的降低，资本的税前价值等于1??，税后价值仍为1。
8.6 考虑第8.2～8.5节中的投资模型。假设在某个时间人们知道政府将征收一次性税收；具体来说，政府将在未来某T时向资本持有者征收税收，其数量占资本持有量的比例为f。假设行业一开始处于长期均衡。当人们获知此消息时会发生什么情况？在消息公布和实施征税之间，K和q如何变化？在征税时，K和q会发生什么变化？征税后K和q如何变化？（提示：在征税时，q是否被预期会不连续地变化？）
答：在未来某个时刻T，随着资本税的实施，q被预测到发生非连续的变化。考虑税收实施前的一个小的时间?和税收实施后的一个小的时间?，观察随着?趋于0将会发生什么情况。关键的是在税收实施前的一个小的时间?内，资本的市场价值q?T???必须等于?1?f?乘以税收实施后的一个小的时间?的资本的市场价值。如果不是这样，在税收实施后，公司的股东会预期到资本损失，因此q?T???必须等于?1?f?q?T???，即：
q?T???/q?T?????1?f?
比如，如果f?0.1或10%，则在税收实施前的一个小的时间?内q的价值必须等于税收实施后的一个小的时间?的价值的90%。因此，在时间T，q向上跳动10%。除此以外，跳动必须使经济返回到鞍点路径上，从而使经济返回到稳定的均衡。
因此在税收实施消息发布时，q必须向下跳动，使得经济位于图8-4中的A点，则经济处于q和K，资本的市场价值和资本存量都下降。在知道税收将实施后，公司开始降低资本存量。必须选择点A使得税收实施时q向上跳动，使经济位于鞍点路径上。在实施时资本存量不发生变化。因此在时间T，经济从B点跳动到C点，满足qB/qC??1?f?。
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图8-4 投资模型
在实施时，经济沿着鞍点路径向下移动，最终返回到原先的均衡点E。一旦一次性税收结束，K变低，利润变高，投资再次变的有吸引力。因此，资本存量返回到原先的水平。
8.7 住房市场模型（本题依据帕特巴1984）。令H表示住房存量，I表示投资率，pH表示住房的真实价格，R表示房租。假设I随pH递增，故有I?I?pH?，I????·?>0，并假设·H?I??H。同时假设房租是H的递减函数：R?R?H?，R?????<0。最后，假设房租收入与
??资本增值之和必须等于外生的所需收益率r：?R?pH??/pH?r。 ???（a）在?H?，pH?空间中画出使得H=0的点集，并画出使得pH=0的点集。
（b）H和pH在所得图像的各个区域中的动态学是什么？画出鞍点路径。
（c）假设市场一开始处于长期均衡，并假设r有一个未预测到的永久性增加。H和pH
在r变化时会发生什么变化？在r发生变化后，H、pH、I和R，如何随时间变化？ （d）假设市场一开始处于长期均衡中，并假设人们知道r在未来T时有一个永久性增加。在获得消息时H和pH会发生什么变化？在获得消息和r增加的时期之间，H、pH、I和R如何变化？当r增加时，H、pH、I和R会发生什么变化？在r增加后，H、pH、I和R如何变化？
（e）本模型的调整成本是内部的还是外部的？请解释。
（f）为什么本模型中的H=0轨迹不是水平的？ 答：（a）住房存量的演化为：
H?I?pH???H （1）
????因此H=0要求I?pH???H，即为了使住房存量保持不变，新的住房投资（是实际住房价格的增函数）必须恰好抵消现存住房的折旧。对这个方程两端关于H求导：
I??pH?dpH/dH ?? （2）
?或：
dpH/dH ??/I??pH??0 （3）
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因为I??pH??0，因此在?H?，pH?空间里H=0曲线向上倾斜。 租金收入加上资本利得必须等于外生的回报率r：
R?H??PHPH??r （4）
解得：
PH?rpH?R?H? （5）
?因此PH?0要求rpH?R?H?=0或pH=R?H?/r。对这一表达式两边关于H求导得到PH?0的斜率：
dpH/dH ?R??H?/r?0 （6）
??因为R??H??0，租金是住房存量的递减函数，PH?0在?H?，pH?空间是向下倾斜的。 （b）因为I??pH??0，由方程（1）知，H在pH上是递增的。这意味着在H=0的上方，H>0，因此H是递增的。对于给定的H，如果pH高于保持住房存量不变的价格，投资（是
pH的增函数）高于折旧的数量。因此住房的存量位于H=0的上方。同理，在H=0的下方，
??????因此H是下降的，即pH和投资太低，不足以抵消折旧从而保持住房存量不变。因此，H<0，
住房存量下降到H=0的下方。如图8-5所示。
??
图8-5 住房市场模型的鞍点路径
因为R??H??0，由方程（5）可以知道，PH随着H的增加而增加。这意味着在PH?0右边，PH?0并且pH上升。对于给定的pH，如果H变高，因此租金变低，为保持投资者获得回报率r，租金的降低必须被资本利得的升高所抵消，即pH升高。同理，对于PH?0的985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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罗默《高级宏观经济学》（第3版）课后习题详解（第8章 投 资）
