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罗默《高级宏观经济学》（第3版）第8章 投 资
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8.1 考虑一个厂商，它采用包括资本和劳动的柯布—道格拉斯生产函数来生产产品Y?K?L1??，即，0???1。假设厂商的价格在短期内固定不变，因而它将其产品价格P和产出Y视为给定的。最后，投入品市场是竞争性的，因而厂商将工资W和资本的租用价格rK视为给定的。
（a）在给定P、Y、W和K时厂商如何选择L？
（b）根据选择的L，把利润表示为P、Y、W和K的函数。 （c）求利润最大化下K的一阶条件，二阶条件是否得到满足？
（d）由（c）部分的一阶条件求解K，把它表示为P、Y、K和rK的函数，这些变量的变化如何影响K？
答：（a）给定K和固定数量的需求Y，企业将雇佣足够的劳动来满足需求。给定生产函数：
Y?K?L1?? （1）
则企业将雇佣的劳动L为：
L?Y1/?1???K??/?1??? （2）
（b）将方程（2）代入利润函数??PY?WL?rKK，得：
1/?1?????/?1?????rKK （3） ??PY?W?YK??（c）企业对K的选择的一阶条件是：
??????/?1??????11/1???WY??K??rK?0 （4） ?K1???1/1???1/1??WY??K???rK （5） 1??要使资本K有最大值，要求?2?/?K2是负值。
简化为：
?2???1??1/1????21????WY??K?????0 （6） ?2?K?1???1??所以当??1时，二阶条件满足。
（d）从方程（5）中解出K得：
K?1/?1??????WY???rK?1???1/?1??? （7）
方程（7）两边同时取指数?1???，得到公司对资本K的选择：
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???K?Y???1???1???W????rK??1??? （8）
因此，尽管公司产品价格P的变化很可能会改变Y，但P不会直接改变利润最大化时对为正值。K对资本的租用价格rE的弹性是??1???，K的选择。K对工资W的弹性是?1???，
为负值。最终，K对需求数量的弹性是1。
8.2 美国允许公司从其应税收入中减去允许的折旧金。折旧金以资本的购买价格为基础；公司在t时购买了一项新资本品，它可以从其t?s时的应税收入中减去的折旧金相当于资本品购买价格中的D?s?的份额。折旧通常采用直线折旧的形式：当s??0?，T?时，D?s?等于1/T；当s?T时，D?s?等于0，其中T为资本品的税收寿命。
（a）假设直线折旧。若边际公司所得税率固定为?，利率固定为i，那么以价格PK购买1单位资本将使公司所得税负的现值（该现值为T、?、i和PK的函数）减少多少？因此，对公司来讲，资本品的税后价格是多少？
（b）假设i?r??，且?增加时r无变化。这将如何影响资本品对公司的税后价格？ 答：（a）在从时间t到时间t?T，企业被允许从其税收收入中减去PK/T，这使得企业在t到t?T的任意时点从税收中储蓄??PK/T?，其中?是边际税率。如果i是不变的利率，则企业的公司所得税负债中的扣除品的现值为X，得到：
t?TX?s?t?e?i?s?t???PK/T?ds （1）
可以推出：
X???PK/T?t?Ts?t?e?i?s?t??1?i?s?t?s?t?T??1?e?iTds???PK/T???e????PK/T??s?ti?i???? （2） ?因为资本品的税后价格为PKAT，等于其税前价格PK减去税收储蓄的折现值，得到：
PATK?1?e?iT?Pk???PK/T???i???Pk???1?e?iT???1???/T???? （3）
i????（b）通货膨胀率?的增加，并保持实际利率r不变，则名义利率i增加。由方程（1），
资本品的贴现值为：
X???PK/T?t?Ts?t?e?i?s?t?ds （4）
因此由于名义利率的变化带来的公司税收降低的贴现值的变化：
?X???PK/T????s?t?e?i?s?t?ds????PK/T???s?t?e?i?s?t?ds?0 （5） ?is?ts?tt?Tt?T利率增加降低了购买资本品的税收节省的贴现值，因此增加了资本品的税后价格。
8.3 在房主自用的情形下，美国税法中影响资本使用者成本的主要特征是，名义税收985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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支付是可以减税的，因此，与家庭所有权相关的税后真实利率为r??i，其中r为税前真实利率，i为名义利率，?为边际税率。在这种情形下，当r给定时，通货膨胀的增加如何影响资本使用者成本和合意资本存量？
答：资本的实际使用成本为：
?????rK?t???r?t?????PK?t?/PK?t???PK?t? （1）
????其中r?t?是实际税率，?是折旧率，PK?t?是资本的实际价格。此处资本指的是所有者的住房。税后实际利率为r?t???i?t?，其中?是边际税率。这是因为名义利率是可以扣税的。
如果一个人自用他的房屋，他会损失r?t?PK?t?——他能得到的利率和储蓄。他会收到
?i?t?PK?t?的税收节省，因此对于房屋所有者来讲，方程（1）变为：
?????rK?t???r?t???i?t?????PK?t?/PK?t???PK?t? （2）
????将i?t??r?t????t?代入（2）式得：
?????rK?t???r?t???r?t?????t?????PK?t?/PK?t???PK?t? （3）
????简化为：
?????rK?t????1???r?t?????t?????PK?t?/PK?t???PK?t? （4）
????将rK?t?对??t?求导得：
?rK?t?/???t????PK?t??0 （5）
通货膨胀率增加减少了自有住房使用者的使用成本，因此通货膨胀率的增加提高了房屋
所有者的合意资本存量。
8.4 应用变分法求解拉姆齐模型中的社会计划者问题。考虑在第2.4节中分析的社会计划者问题：计划者根据k?t??f?k?t???c?t???n?g?k?t?希望最大化
1????t?ect/?1????dt ???t?0????（a）写出当期值汉密尔顿函数。指出其中的控制变量、状态变量和协态变量。
（b）写出类似于第8.2节中方程（8.21）、（8.22）和（8.23）的描述最优化行为的三个条件。
（c）证明由（b）部分中的前两个条件以及f??k?t???r?t?可得出欧拉方程（方程［2.20］）。
???t（d）令?表示协态变量。证明???t?/??t??????n?g??r?t?，从而e??t?与????e?R?t?e?n?g?t成正比。证明这意味着，当且仅当预算约束（2.15）以等号形式成立时，（b）
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部分中的横截性条件才成立。
答：（a）计划者的问题是最大化代表性个人终生效用的贴现值：
t?0?e??tc?t?1??1??dt ????n??1???g （1）
s..t????k?t??f?k?t???c?t???n?g?k?t? （2）
?控制变量是可以被计划者自由控制的变量，即每单位有效劳动的消费c?t?。状态变量是由计划者过去的决策所决定的变量，即每单位有效劳动的资本k?t?。最后，状态变量的影子价格是协态变量，记为??t?。
因此，当期值汉密尔顿函数为：
H?k?t??，c?t???c?t?1??1?????t???f?k?t???c?t???n?g?k?t??? （3）
（b）最优化的第一个条件为当期值汉密尔顿函数关于控制变量求导等于0：
?H?k?t??，c?t???c?t??c?t????t??0 （4）
??第二个条件是当期值汉密尔顿函数关于状态变量求导，等于折现率乘以协态变量减去协态变量关于时间的导数：
?H?k?t??，c?t???k?t????t?f??k?t?????t??n?g?????t????t? （5）
?最后一个条件是横截性条件：
lime??t??t?k?t??0 （6）
t??（c）从（4）式可得：
??t??c?t? （7）
等式（7）两边同时对时间求导：
????t????c?t?从等式（5）可得：
????1c?t????c?t????c?t?c?t?? （8）
??t????t?????f??k?t????n?g??? （9）
?将关于??t?的（8）和（9）联立：
??c?t????c?t?c?t?????t?????f??k?t????n?g??? （10）
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把等式（7）和f??k?t???r?t?代入等式（10）得：
c?t????c?t??????c?t?????r?t???n?g??? （11） c?t???消去c?t?，两边同除以??，并将????n??1???g代入得：
c?t?c?t???r?t???n?g????n??1???g?c?t?c?t?? （12）
化简为： 方程（13）为欧拉方程。
?r?t?????g? （13）
（d）在（9）式两边除以??t?得到：
??t?????n?g??r?t? （14） ??t?上步使用了f??k?t???r?t?。因此（14）式可以推出：
?ln??t?/?t????n?g??r?t? （15）
?等式（15）两边同时从时间??0到??t积分，得：
??ttln??t??ln??0???????n?g??????0??r???d?
??0使用R?t?的定义得到：
ln??t??ln??0???t??n?g?t?R?t? （16）
对（16）式两边取指数函数：
??t????0?e?te?n?g?te?R?t? （17）
因此e??t??t?与e?R?t?e?n?g?t成比例。
这意味着横截性条件，方程（6）等价于：
limet???R?t?e?n?g?tk?t??0 （18）
家庭的预算约束线为：
lime?t??n?g?tk?t??0 （19）
比较方程（18）和（19），只有预算约束线是等式时，横截性条件成立。在拉姆齐模型中，社会计划者问题的解等价于分散均衡问题的解。因此，分散均衡一定是帕累托最优的。 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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