证法2 连结ED，连结A1C，EC分别交AC1，DC1于点M，N，连结MN，则因为D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥CD且C1E＝CD，
所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点．(2分) 因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，(4分) 所以MN∥A1E.
又因为A1E?平面ADC1，MN?平面ADC1，所以直线A1E∥平面ADC1.(7分) (2) 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC. 又AD?平面ABC，所以AD⊥BB1.
又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD⊥BC.(9分) 又BB1，BC?平面B1BCC1，BB1∩BC＝B， 所以AD⊥平面B1BCC1，
又EF?平面B1BCC1，所以AD⊥EF.(11分)
又EF⊥C1D，C1D，AD?平面ADC1，C1D∩AD＝D， 所以直线EF⊥平面ADC1.(14分) 题型二 平面与平面的平行于垂直
知识点拨：证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。平面与平面的平行关键是在一个平面内找两条相交直线；平面与平面垂直可以从二面角入手页可以从线面垂直进行转化。
例1、(2024泰州期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点．已知PA⊥AB，PA⊥AD. 求证：
(1) 直线PB∥平面OEF； (2) 平面OEF⊥平面ABCD.
规范解答 证明：(1) 在△PBD中，O为BD的中点，F为PD的中点．所以OF∥PB，(3分) 因为PB?平面OEF，OF?平面OEF，(7分) 所以直线PB∥平面OEF
(2)解法1 连结AC，因为底面ABCD为平行四边形，O为BD的中点，所以O为AC的中点． 在△PAC中，O为AC的中点，E为PC的中点， 所以OE∥PA，(9分) 因为PA⊥AB，PA⊥AD， 所以OE⊥AB，OE⊥AD，(11分)
又因为AB∩AD＝A，AB，AD在平面ABCD内， 所以OE⊥平面ABCD.
因为OE?平面OEF，所以平面OEF⊥平面ABCD.(14分)
解法2 连结AC，因为ABCD为平行四边形，所以AC与BD交于点O，O为AC中点，又E为PC中点，所以PA∥OE，因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，所以PA⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又OE?平面OEF，所以OEF⊥平面ABCD.
【变式1】(2024苏州期末）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1) 求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2) 求证：C1F∥平面ABE.
解：(1) 证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC， 因为AB?平面ABC，所以BB1⊥AB.(2分)
又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面B1BCC1， 所以AB⊥平面B1BCC1.(4分)
又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(6分) (2)证明：取AB中点G，连结EG，FG. 因为E，F分别是A1C1，BC的中点， 1
所以FG∥AC，且FG＝AC.(8分)
2
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1， 所以FG∥EC1，且FG＝EC1.
所以四边形FGEC1为平面四边形，(11分) 所以C1F⊥EG.
又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE.(14分)
【变式2】(2024无锡期末）在四棱锥PABCD 中，锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB，AB⊥AD，AB⊥BC.
(1) 求证：BC∥平面 PAD； (2) 平面 PAD⊥ 平面 ABCD.
(1) 因为AB⊥AD，AB⊥BC，且A，B，C，D共面，所以AD∥BC.(3分) 因为BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.(5分)
(2)过点D作DH⊥PA于点H，因为是锐角△PAD，所以H与A不重合．(7分) 因为平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB＝PA，DH?平面PAD. 所以DH⊥平面PAB，(9分)
因为AB?平面PAB，所以DH⊥AB.(11分) 因为AB⊥AD，AD∩DH＝DAD，DH?平面PAD， 所以AB⊥平面PAD.
因为AB?平面ABCD.所以平面PAD⊥平面ABCD.(14分)
【变式3】(2024南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AC，点E，F分别在棱BB1，CC1上(均异于端点)，且∠ABE＝∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1. 求证：(1) 平面AEF⊥平面BB1C1C； (2) BC∥平面AEF.
2024年高考数学二轮提升专题训练考点16 立体几何中的平行于垂直问题
