专题二2.1函数及其表示-高三数学专题复习练习

专题二

求解与分段函数有关的不等式问题,应在定义域的限制之下,结合函数解析式分别解不等式,最后取各不等式的并集. 跟踪训练5:函数

?1x?1,x?0,??2f(x)=?1且

?,x?0,??xf(a)≤a,则实数a的取值范围

是 ;若f(f(a))≤f(a),则a的取值范围为 . 解析:当a≥0时,由f(a)=1a-1≤a, 2解得a≥0;

当a<0时,由f(a)=1≤a, a解得-1≤a<0.

综上所述,实数a的取值范围是[-1,+∞).

由f(a)≤a得a≥-1知f(f(a))≤f(a)得f(a)≥-1,

?a?0,?a?0,?则?1或? ?1??1,a?1??1???a?2得a≥0或a≤-1.

答案:[-1,+∞) (-∞-1]∪[0,+∞)

数学运算在求解分段函数问题中的应用

已知分段函数的解析式求解与分段函数有关的求值与函数性质问题,主要根据函数的解析式特征,结合函数的定义域利用数学运算求解.

16 / 26

专题二

??x?a?2,x?0,[典例] f(x)=?若?1?x??a,x?0,x?f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为

( )

(A)[-1,2] (B)[-1,0] (C)[1,2] (D)[0,2]

解析:由于当x>0时,f(x)=x+1+a在x=1时取得最小值2+a,由题意x当x≤0时,f(x)=(x-a)2应该是递减的,则a≥0,此时最小值为f(0)=a2,因此a2≤a+2,解得0≤a≤2.故选D.

(1)分段函数问题求解时应根据自变量分类选择对应的函数对应关系进行运算或列方程(组)、不等式(组); (2)分段函数各段值域的并集即为整个函数的值域; (3)分段函数的最值应计算每段函数的最值并比较大小,最大值中的最大者为最大值,最小值中的最小者为最小值.

已知函数

?x2?1,x?0,?f(x)=?g(x)=2x-1,则

??x?1,x?0,f(g(2))= ,f(g(x))的

值域为 . 解析:g(2)=22-1=3, 所以f(g(2))=f(3)=2. 易得g(x)的值域为(-1,+∞),

所以若-10,f(g(x))=g(x)-1∈(-1,+∞), 所以f(g(x))的值域是[-1,+∞).

17 / 26

专题二

答案:2 [-1,+∞)

[例1] 若函数y=( )

(A)(0,1] (B)(0,1)

2222ax?1ax2?4ax?2的定义域为R,则实数a的取值范围是

(C)[0,1] (D)[0,1]

解析:由ax2-4ax+2>0恒成立,得a=0或??故选D.

[例2] 已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+1),当x∈[0,1)时,f(x)= (A)-12(C)12?x2?3x?2 x2?3x?2 ?a?0,??????4a??4?a?2?0,2解得0≤a<1.2?x2?x,则当x∈[1,2)时,f(x)等于( )

(B)12(D)-12?x2?3x?2 x2?3x?2 解析:根据f(x)=2f(x+1)得,f(x-1)=2f(x). 当x∈[1,2)时,x-1∈[0,1),f(x-1)= ??x?1?1所以f(x)=1f(x-1)= 22?x2?3x?2.故选

2?x?1=?x2?3x?2, B.

?[例3] 已知函数f(x)=??2x?1,x?1,x?3,x?1,?则满足f(f(m))=3f(m)的实数m的取值

范围是( ) (A)(-∞,0] (B)[0,1] (C)[0,+∞)∪{-1} 2(D)[1,+∞)

解析:令t=f(m),则f(t)=3t.

当t<1时,2t+1=3t∈(0,3),即-1

专题二

令g(t)=2t+1-3t,若g(t)=0,则t=0. 由f(m)=2m+1=0, 得m=-1;

2当t≥1时,f(t)=3t,

若2m+1≥1且m<1,解得0≤m<1; 若3m≥1且m≥1,解得m≥1.

综上可知,实数m的取值范围为[0,+∞)∪{-1}. 2故选C.

[例4] 设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=??是( )

(A)[0,+∞) (B)[-9,+∞] 49(C)[-9,0]∪(1,+∞) (D)[-,0]∪(2,+∞) 442??x?x?2,x????,?1?U?2,???解析:f(x)=?2 ??x?x?2,x?[?1,2],?g?x??x?4,x?g?x?,??g?x??x,x?g?x?,则f(x)的值域

若x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),则f(x)∈(2,+∞), 若x∈[-1,2],f(x)∈[-9,0], 4所以f(x)的值域为[-9,0]∪(2,+∞).故选D. 4[例5] 函数f(x)= 解析:要使函数

4?4x+ln(x+4)的定义域为 .

f(x)的

x??4?4?0,f(x)有意义,需有?解得-4

??x?4?0,定义域为(-4,1]. 答案:(-4,1]

19 / 26

专题二

[例6] 已知f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则函数f(x)的解析式为 . 解析:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 又f(0)=c=3, 所以f(x)=ax2+bx+3,

所以f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2.

4a?4,所以???4a?2b?2,

a?1,所以?所以f(x)=x2-x+3. ??b??1,答案:f(x)=x2-x+3

第1节 函数及其表示

[选题明细表]

知识点、方法 函数的概念、表示方法 函数的定义域、值域 分段函数 题号 1,2,12 3,5,6,7,9,15 4,8,10,11,13,14 (建议用时:20分钟)

1.下列哪个函数与y=x相等( D ) (A)y=???? 2

(B)y=2log2x

3

(C)y=√??2 (D)y=(3√??)

解析:y=x的定义域为{x|x∈R},而y=????的定义域为{x|x∈R且x≠0},

2

20 / 26