数学试卷
考点： 等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征． 分析： 首先根据题意得出×|2x?y|=
，进而得出xy=﹣
，即可得出k的值．
解答： 解：过点A作AC⊥OB于点C， 设A（x，y），
∵△OAB是面积为的等边三角形， ∴×|2x?y|=
，∴|xy|=
，∴xy=﹣
， ．
∴这个反比例函数的解析式是：y=﹣故答案为：y=﹣
．
点评： 此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法和反比例函数图象上点的坐标特征，得出xy=﹣是解题关键．
18．（4分）（2024?浦东新区二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=
，cosA=
，如果将△ABC绕着点C旋
转至△A′B′C的位置，使点B′落在∠ACB的角平分线上，A′B′与AC相交于点H，那么线段CH的长等于 ﹣1 ．
考点： 旋转的性质．
分析： 根据题意画出图形，进而利用旋转的性质以及锐角三角函数关系和等腰直角三角形求出三角形各边长，再利用三角形面积求出即可．
解答： 解：过点B′作B′F⊥AC于点F，A′D⊥AC于点D， ∵∠ACB=90°，点B′落在∠ACB的角平分线上， ∴∠BCB′=∠B′CA=ACA′=45°，
∴△CB′F，△CDA′都是等腰直角三角形， ∵AC=∴
=
，cosA==
， ，∴BC==
，A′D=
，∴B′C=×CA′=1，
，
，
解得：AB=∴B′F=
×
数学试卷
∴S△A′CB′=S△CHB′+S△CHA′=×解得：CH=故答案为：
﹣1， ﹣1．
×=××CH+×1×CH，
点评： 此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数关系和三角形面积求法等知识，利用S△A′CB′=S△CHB′+S△CHA′求出是解题关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）（2024?浦东新区二模）计算：（
）﹣5
2
+（）﹣
﹣1
．
考点： 实数的运算；分数指数幂；负整数指数幂． 专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用指数幂法则变形，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项分母有理化，计算即可得到结果． 解答： 解：原式=5﹣
+
﹣
=6﹣．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）（2024?浦东新区二模）解不等式组：
并把解集在数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 分析： 先求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 解答： 解：
由①得2x﹣7＜3﹣3x， 化简得5x＜10， 解得：x＜2．
由②得4x+9≥3﹣2x， 化简得6x≥﹣6， 解得：x≥﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣1＜x＜2． 在数轴上表示出来为：
数学试卷
点评： 本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 21．（10分）（2024?浦东新区二模）已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求： （1）圆心O到AQ的距离； （2）线段EF的长．
考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析： （1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，求出AO，根据含30度角的直角三角形性质求出即可； （2）连接OE，根据勾股定理求出EH，根据垂径定理得出即可． 解答： 解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H， ∵OH⊥EF， ∴∠AHO=90°，
在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°， ∴OH=AO，
∵BC=10cm， ∴BO=5cm．
∵AO=AB+BO，AB=3cm， ∴AO=3+5=8cm，
∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．
（2）连接OE， 在Rt△EOH中，
222
∵∠EHO=90°，∴EH+HO=EO， ∵EO=5cm，OH=4cm， ∴EH=
=
=3cm，
∵OH过圆心O，OH⊥EF， ∴EF=2EH=6cm．
数学试卷
点评： 本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂径定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 22．（10分）（2024?浦东新区二模）甲、乙两车都从A地前往B地，如图分别表示甲、乙两车离A地的距离S（千米）与时间t（分钟）的函数关系．已知甲车出发10分钟后乙车才出发，甲车中途因故停止行驶一段时间后按原速继续驶向B地，最终甲、乙两车同时到达B地，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两车行驶时的速度分别为多少？ （2）乙车出发多少分钟后第一次与甲车相遇？ （3）甲车中途因故障停止行驶的时间为多少分钟？
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）分别根据速度=路程÷时间列式计算即可得解；
（2）方法一：观察图形可知，第一次相遇时，甲车停止，然后时间=路程÷速度列式计算即可得解； 方法二：设甲车离A地的距离S与时间t的函数解析式为s=kt+b（k≠0），利用待定系数法求出乙函数解析式，再令s=20求出相应的t的值，然后求解即可；
（3）求出甲继续行驶的时间，然后用总时间减去停止前后的时间，列式计算即可得解． 解答： 解：（1）v甲=
=（千米/分钟），
所以，甲车的速度是千米/每分钟； v乙=
=1（千米/分钟），
所以，乙车的速度是1千米/每分钟；
（2）方法一：∵t乙=
=20（分钟），
∴乙车出发20分钟后第一次与甲车相遇；
方法二：设甲车离A地的距离S与时间t的函数解析式为：s=kt+b（k≠0）， 将点（10，0）（70，60）代入得：解得，
，
，
所以，s=t﹣10，
当s=20时，解得t=30，
∵甲车出发10分钟后乙车才出发，
∴30﹣10=20分钟，乙车出发20分钟后第一次与甲车相遇；
（3）∵t=（60﹣20）÷=30（分钟）， ∵70﹣30﹣15=25（分钟），
数学试卷
∴甲车中途因故障停止行驶的时间为25分钟．
点评： 本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，待定系数法求一次函数解析式，读懂题目信息理解甲、乙两车的运动过程是解题的关键． 23．（12分）（2024?浦东新区二模）已知：如图，在正方形ABCD中，点E是边AD的中点，联结BE，过点A作AF⊥BE，分别交BE、CD于点H、F，联结BF． （1）求证：BE=BF；
（2）联结BD，交AF于点O，联结OE．求证：∠AEB=∠DEO．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题： 证明题．
分析： （1）根据正方形性质得出AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°，求出∠ABH=∠HAE，证△ABE∽△DAF，得出比例式，求出AE=DF，CF=AE，证出Rt△ABE≌Rt△CBF即可；
（2）根据正方形性质求出∠ADB=∠CDB，证△DEO≌△DFO，推出∠DEO=∠DFO，根据△ABE∽△DAF推出∠AEB=∠DFA，即可得出答案． 解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=DA=BC=CD，∠BAD=∠ADF=∠BCF=90°， ∴∠BAH+∠HAE=90°， ∵AF⊥BE， ∴∠AHB=90°，
即∠BAH+∠ABH=90°， ∴∠ABH=∠HAE， 又∵∠BAE=∠ADF， ∴△ABE∽△DAF， ∴
=
，
∴AE=DF，
∵点E是边AD的中点， ∴点F是边DC的中点， ∴CF=AE，
在Rt△ABE与Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）， ∴BE=BF．
上海市浦东新区2024年中考二模数学试卷及答案解析
