北师大版2024-2024学年数学精品资料
活页作业(二) 综合法与分析法
sin Acos B
1．在△ABC中，A，B所对的边分别为a，b，且＝，则B＝( )
abA．30° C．60°
B．45° D．90°
sin Asin Bcos Bsin A
解析：由正弦定理＝及条件＝知sin B＝cos B，则△ABC的内角B＝
abba45°.
答案：B
2．欲证2－3＜6－7只需证( ) A．(2－3)2＜(6－7)2 B．(2－6)2＜(3－7)2 C．(2＋7)2＜(3＋6)2 D．(2－3－6)2＜(－7)2
解析：欲证2－3＜6－7，只需证2＋7＜3＋6，∵2＋7＞0，3＋6＞0， ∴只需证(2＋7)2＜(3＋6)2. 答案：C
3．若实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则xy＋yz＋zx的取值范围是( ) A．[－1,1] 1
－1，? C．?2??
1
－，1? B．??2?11－，? D．??22?
x2＋y2y2＋z2z2＋x2
解析：xy＋yz＋zx≤＋＋＝1，
2222(xy＋yz＋zx)＝(x＋y＋z)2－(x2＋y2＋z2)≥0－1＝－1. 答案：B
4．已知a，b是不相等的正数，x＝A．x＞y C．x＝y
a＋b
，y＝a＋b，则x，y的关系为( ) 2
B．x＜y D．不确定
解析：取a＝1，b＝4，得x＝
3
，y＝5，此时x＜y， 2
猜想x＜y.用分析法证明如下： a＋b
x＜y，即＜2a＋b＜2(0，＋∞)，
而a≠b，且a，b∈(0，＋∞)恰是已知条件． 故x＜y. 答案：B
5．已知f(x)是实数集R上的函数，且对于任意实数x都有f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)恒成立，则函数f(x)的周期为( )
A．4 C．8
解析：∵f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)， ∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．
∴f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝f(x＋1)－f(x)－f(x＋1)＝－f (x)． ∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)．
∴f(x)为周期函数，6是它的一个周期． 答案：B
a2＋b2a2＋b26．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋
22b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
答案：a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
7．若aa＋bb＞ab＋ba，则实数a、b满足的一个条件是___________． 解析：若aa＋bb＞ab＋ba，则a≥0，b≥0，不等式两边均大于或等于0.两边平方得：a3＋b3＋2abab＞a2b＋b2a＋2abab，即a3＋b3－a2b－b2a＞0，a2(a－b)＋b2(b－a)＞0，(a－b)(a2－b2)＞0，(a－b)2(a＋b)＞0，又a≥0，b≥0，故a＋b≥0，故a，b满足的条件为a≥0，b≥0且a≠b.因而满足上式的任一个关于a，b的条件均可．
B．6 D．10
a＋b，
a＋2ab＋b
a＋b?＜a＋b?2ab＜a＋b?(a－b)2＞0?a≠b，且a，b∈
2
答案：a≥0，b≥0且a≠b
8．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________． 解析：∵x∈(1,2)，
4x＋?. ∴x2＋mx＋4＜0?m＜－??x?4
由y＝x＋在(1,2)上单调递减，得y＜5，
x4
x＋?＞－5. ∴－??x?∴m≤－5. 答案：m≤－5
ac9．设a，b，c成等比数列，而x，y分别是a，b和b，c的等差中项，求证：＋＝2.
xya＋bb＋cb2
证明：由题意得c＝，x＝，y＝，
a22acac2a2c
则＋＝＋＝＋＝ xya＋bb＋ca＋bb＋c
2
2
b22×
a2a2a2b＋＋＝2， 2＝a＋bb＋ba＋ba＋b
aac即＋＝2. xy
10．已知a＞0，求证： 证明：要证 只要证 ∵a＞0， ∴只要证?
11a2＋2－2≥a＋－2.
aa
11
a2＋2－2≥a＋－2，
aa
11
a2＋2＋2≥a＋＋2.
aa
?
1?2a＋1＋2?2. a2＋2＋2≥??a??a
111
a＋?＋2， a2＋2＋4≥a2＋2＋2＋22??a?aa
1
即a2＋2＋4a从而只要证
2
11a＋?， a2＋2≥2??a?a
11
a2＋2?≥2?a2＋2＋2?， 只要证4?a??a??1
即证a2＋2≥2，而上述不等式显然成立，
a故原不等式成立．
11．分析法又称执果索因法，则用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac＜3a”索的因应是( )
A．a－b＞0 C．(a－b)(a－c)＞0 解析：要证明
B．a－c＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
b2－ac＜3a，只需证b2－ac＜3a2，只需证(a＋c)2－ac＜3a2，只需证
－2a2＋ac＋c2＜0，即证2a2－ac－c2＞0，即证(a－c)(2a＋c)＞0，即证(a－c)(a－b)＞0.
答案：C
1
12．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab)________[lg(1＋a)＋lg(1＋
2b)]．
解析：∵(1＋ab)2－(1＋a)(1＋b)＝ 2ab－(a＋b)≤0， ∴(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)， lg(1＋ab)2≤lg(1＋a)(1＋b)， 1
即lg(1＋ab)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
2答案：≤
13．已知x，y∈(0，＋∞)，a＝x4＋y4，b＝x3y＋xy3，则a，b的大小关系是________． 解析：因为a＝x4＋y4，b＝x3y＋xy3，所以a－b＝(x4＋y4)－(x3y＋xy3)＝(x3－y3)(x－y)＝(x－y)2(x2＋xy＋y2)≥0.故a≥b.
答案：a≥b
14．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．
解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(|x|)．
又当x≥0时，f(x)＝x2－4x， 不等式f(x＋2)＜5?f(|x＋2|)＜5 ?|x＋2|2－4|x＋2|＜5 ?(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)＜0 ?|x＋2|－5＜0?|x＋2|＜5 ?－5＜x＋2＜5?－7＜x＜3. ∴解集为(－7,3)． 答案：(－7,3)
|a|＋|b|
15．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤2.
|a＋b|证明：a⊥b?a·b＝0， |a|＋|b|要证≤2，
|a＋b|只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)， 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0， 上式显然成立，故原不等式得证．
16．(2017·江苏卷)对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋
1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数
n(n＞k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．
(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；
(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列． 证明：(1){an}是等差数列，设其公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d.从而
当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3，
所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，
2024-2024学年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第1章 2.1、2.2 综合法与分
