考点17 立体几何中的计算问题
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、(2019扬州期末） 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________． 22π【答案】
3
122π222
【解析】圆锥的高为h＝3－1＝22，圆锥的体积V＝×π×1×22＝.
33
2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________． 【答案】
3π 3
【解析】思路分析 先求出圆锥的底面半径和高．
???πr＝π，?r＝1，
设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则?解得?所以h＝3.圆锥的体积
?πrl＝2π，?l＝2.??
2
13πV＝Sh＝. 33
3、(2019宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm的正三角形，则该圆锥的体积为________ cm. 【答案】
3
π 3
3
13222
【解析】 圆锥的底面半径R＝1，高h＝2－1＝3，故圆锥的体积为V＝×π×1×3＝π.
334、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm，侧面的对角线长是35 cm，则这个正四棱柱的体积为________cm. 【答案】 54
【解析】由题意知，正四棱柱的高为（35）－3＝6，所以它的体积V＝3×6＝54，故答案为54. 5、(2019南京学情调研） 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，则四棱锥A1B1C1CB的体积是________．
2
2
2
3
【答案】23
【解析】如图，取B1C1的中点E，连结A1E，易证A1E⊥平面BB1C1C，所以A1E为四棱锥A1B1C1CB的高，所以V11
四棱锥A1B1C1CB＝S矩形BB1C1C×A1E＝×(2×3)×3＝23.
33
6、(2018盐城三模）若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ． 【答案】
22? 322??1?l=3??1，【解析】设圆锥的高为h，母线为l，由S侧=?rl,S底=?r得，即l=3， h?3?1?22，
2故该圆锥的体积为???1?22?221322?. 37、(2017无锡期末） 已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于________． 22
【答案】π
3
2π
2πr＝l×，??3
【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则?1
3π＝??2×2πr×l，
??r＝1，
解得?
?l＝3，?
故h＝
l2－r2＝22，所以圆锥的体积V＝×πr2×h＝×π×12×22＝
1
31322
π. 3
解后反思 解决立体几何问题的基本思想是将空间问题转化为平面问题，在解题过程中要注意明确展开图中各个元素和几何体中元素的对应关系．
8、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱
BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是________．
【答案】 83
【解析】 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1，AA1?平面AA1C1C，BB1?平面AA1C1C，所以BB1∥平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BH⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角111形且边长为4，所以BH＝23，从而三棱锥AA1EF的体积VAA1EF＝VEA1AF＝S△A1AF·BH＝××6×4×23
332＝83.
解题反思 一般地，三棱锥的体积求解都需要通过换底来求解，基本原则是换底以后的三棱锥的底面积和高均容易求解．
2020年高考数学二轮提升专题训练考点17 立体几何中的计算问题
