预习讲义
2. 5函数的奇偶性和周期性
知识梳理
1. 函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f3的定义域内任意一个x, 都冇图象特点 关于y轴对称 f(一处=代处,那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X、 都有奇函数 A-^) =-/(%),那么函数fd)是奇函 数 关于原点对称 2. 周期性
(1) 周期函数：对于函数 尸如果存在一个非零常数7；使得当/取定义域内的任何 值时，都有fd+7)=fa),那么就称函数y=f\\x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2) 最小止周期：如果在周期函数fg的所冇周期中存在一个最小的正数,那么这个授小 正数就
叫做代劝的最小正周期.
课前训练
1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“ J”或“ X”) (1) 函数f(x) =0, xW (0, +8)既是奇函数乂是偶函数. (2) 若函数是偶函数，则函数y=f{x)关于直线/=自对称.
(3) 若函数y= f{x+ Z?)是奇函数，则函数y= f{x)关于点(也0)中心对称.(V )
(X ) (V )
Y
(4) 若函数f3=—￥_2 — 为奇函数，则曰=2.
( V )
⑸函数fd)在定义域上满足f{x+a) = - f{x),则fd)是周期为2臼@>0)的周期函数. (V )
(6)函数 f(x)为 R 上的奇函数，Jlf(x+2)=fa),则 A2 014)=0. ( V )
2. 已知函数fd)为奇函数，且当Q0时，/(%)=/+-,则A-1)等于 _________________ .
X
答案一2
解析 f( —1) = —f(l) = — (1 + 1) = —2.
3. 已知f{x) =ax +bx是定义在［臼一1,2曰］上的偶函数，那么a+b的值是_______ .
答案I
解析依题意0=0,且2&= — ($—1),
贝ij a+ b=g.
4. 已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(卄4) = f(0,当用(0, 2)时,f(A)=2/,则f(2 015)
等于 ________ ? 答案一2
解析???￡匕+4)=￡(方，
???fU)是以4为周期的周期函数， ?\
又fd)为奇函数，
.\\f(-l)=-f(l)=-2X 12=-2,即 f(2 015) =-2.
5. 设函数H方是定义在R上的奇函数，若当圧(0, +8)时，/、(0=lg兀则满足Ax) >0
的/的取值范围是 ________ . 答案(一1,O)U(1, +s)
解析 画草图，由fd)为奇函数知：fd)〉o的才的取值范围为(一
y
1,0) U (1, +8).
2. 5函数的奇偶性和周期性
例题精讲 【例1)判断下列函数的奇偶性:
(1) f{x)=寸9_”+y]x—9；
y)4 —女 (3) f(A)=
\—3?
⑵心)=(卄1)
思维启辿 判断函数的奇偶性吋，必须先判定函数定义域是否关于原点对称?若对称，再 验证
9 —,20 (1)由'
,-930
,得 ^=±3.
/■( — X)= ± /*(%)或其等价形式— ± <(A-) =0是否成立.
???f(x)的定义域为{-3, 3},关于原点对称. 乂 f(3)+f(—3)=0, A3)-A-3)=0.
即 f(x) = ±f( —x).
(2)由 ,得一1X1.
???￡匕)既是奇函数，乂是偶函数.
1 + /H0
???fd)的定义域(-1,11不关于原点对称.
4-/^0 (3) III
」x+3| —3H0
???代方既不是奇函数，也不是偶函数.
??? Ztr)的定义域为[-2, 0) U (0, 2],关于原点对称.
— / x+3 —3
— / x
：? f(x) = ~f( — x), A f(x)是奇函数?
【例2】⑴心)为R上的奇函数，当兀>0时，/U)=—2”+3x+l,求/U)的解析式.
⑵已知曲是定义在R上的偶函数，并卄（卄2）一当2GW3时，心）
=/,则 A105. 5) = __________ .
解析⑴当兀V0时，一无>0,贝IJ /(_%) = _ 2( _兀)2 +3(—x)+1 = —2”_3兀+1.
由于7U)是奇函数，故/(兀)=一/(—力， 所以当 XVO 时，/U) = 2?+3x-l. 因为7U)为R上的奇函数，故夬o)=o?
‘一2/+3兀+1,兀>0,
综上可得几0的解析式为沧)=<0,兀=0,
、2,+3兀一1, x<0.
(2)由已知,可得 Ax+4)=/tU+2)+2] =_f
1 1 龙+2
~ f x
故函数的周期为4.
A A105. 5) =f(4X27 — 2. 5) =f(-2. 5) =f(2. 5). ???2W2. 5W3,由题意，得f(2. 5)=2. 5. A A105. 5)=2. 5.
【例31 （1）已知奇函数/V）在定义域（一1, 1）内是减函数，则满足+f（l—力）＜0的 实数刃的取值范围为 ____________ . 答案（0, 1）
解析 f（l—/Z?）＜—f（l—/〃2）,
_1＜1_冰1,
于解得 0＜/zKl.
⑵设定义在［-2,2］.h的偶函数/U）在区间［0,2］上单调递减，若Xl-m）＜Xm）,则 实数m的取值范围是 __________________ ?
解析??7U)是偶函数，???/( - x) =fix)=Xkl)?
???不等式 Al -m) \\\\ - m\\ > \\m\\, ???< 一 2W1-加W2, 解得一 1W//7 V* 、一 2SW2, 课后提升 1. 已知 心)=豈不是奇函数，且f(2)=［,则F0的解析式为 仟玄/W—斗二 解析 因为代方是奇函数，所以/(-%) +f(%)=0, ZM px +2 px +2 得-3卄尹杰肓得尸°’ 由 f(2)=￡得驾2=#,得 p=2, “ /、 2/ + 2 贝U f(x)= ? 6X 2、若定义在R上的偶函数代方和奇函数gd)满足fd)+g(0=y,则水方等于数，geo为奇函数， ??.f(—A) =f(x), g(_x) = _g(x). f( —0 +g( —0 =f3 —g(x) =e_x. QX—e T 乂 \\e f\\x) +g(x) =e\\ Ag{x) =— ? 答案 |(e-e-0 3. 己知函数fd)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线*=1对称. (1) 求证：HR是周期为4的周期函数； (2) 若f(x)=心(0 有 /U+l)=f(l—0,即有 f(一力=f&+2). 又函数fd)是定义在R上的奇函数， 故有 f(— x) = — 故 f(x+ 2) = — f(x). 从A%+4) = - Ax+2) = f\\x), 即f(x)是周期为4的周期函数. ⑵解 由函数/V)是定义在R上的奇函数，有代0)=0. 解析???￡匕)为偶两
函数的奇偶性与周期性(教师版).doc
