数学《不等式选讲》期末复习知识要点
一、14
1．函数f?x?的定义域为A,若存在非零实数t，使得对于任意x?C?C?A?有
x?t?A,且f?x?t??f?x?，则称f?x?为C上的t度低调函数.已知定义域为?0，+??的
函数f?x?=?mx?3，且f?x?为0，+??上的6度低调函数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．0,1 B．1，+?? C．???,0 D．??,0???1,?? 【答案】D
【解析】试题分析：由题意得， f?x?6??f?x??mx?6m?3?mx?3对任意x?0都成立.当m?0时， 6m?3??30?mx?6m?3?mx?3|恒成立；当m?0时，结合图象可知，要mx?6m?3?mx?3对任意x?0都成立，只需x?0时
???????mx?6m?3?mx?3成立即可，即6m?3??3?m?1.选D.
考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.
1??2．已知f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为n，则二项式?x??展开式中x2项的系数为
x??( ) A．11 B．20 C．15 D．16 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中x2项的系数． 【详解】
∵f（x）=|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，故函数的最小值为6， 再根据函数的最小值为n，∴n=6． 则二项式（x﹣
n1n1r﹣
）=（x﹣）6 展开式中的通项公式为 Tr+1=C6?（﹣1）r?x62r， xx2令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x2项的系为C6=15， 故选：C． 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．
3．不等式3?2x?5的解集是（ ） A．{x|x??1} 【答案】C 【解析】 【分析】
根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】
因为3?2x?5，所以3?2x?5或3?2x??5，即x??1或x?4，选C. 【点睛】
本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.
B．{x|?1?x?4}
C．{x|x??1或x?4} D．{x|x?4}
4．设a＞0，b＞0，且ab－(a＋b)≥1，则( ) A．a＋b≥2(2＋1) C．a－b≤(2＋1)2 【答案】A 【解析】 【分析】
B．a＋b≤2＋1 D．a＋b＞2(2＋1)
a?b11.所以ab≤ (a＋b)2,所以 (a＋b)2－(a＋b)≥ab－(a＋b)≥1，再解不等式 244(a＋b) 2－4(a＋b)－4≥0得解. 【详解】
因为ab≤因为ab≤所以
a?b1.所以ab≤ (a＋b)2. 241 (a＋b)2－(a＋b)≥ab－(a＋b)≥1. 4所以(a＋b) 2－4(a＋b)－4≥0.
因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2＋22. 故答案为：A 【点睛】
本题主要考查基本不等式和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
5．设n?N?，n?4?n?3 与n?2?n?1的大小关系是（ ） A．n?4?n?3?C．n?4?n?3?【答案】B 【解析】
n?2?n?1 n?2?n?1 B．n?4?n?3?D．不能确定
n?2?n?1 【分析】
把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系． 【详解】
n?4?n?3?.
?n?4?n?31????n?4?n?3n?4?n?3????n?4???2n?3?2n?4?n?3?1n?4?n?3n?2?n?1?.
?n?2?n?11????n?2?n?1n?2?n?1????n?2??2?n?1?2n?2?n?1?1n?2?n?1n?N* n?4?n?2,n?3?n?1根据不等式的开方性质可以得出n?4?n?2
n?3?n?1 再根据不等式相加性质可以得出n?4?n?3?n?2?n?1 显然可以得到11?即n?4?n?3?n?2?n?1
n?4?n?3n?2?n?1成立，因此本题选B． 【点睛】
对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．
6．空间中两条不相交的直线与另外两条异面直线都相交，则这两条直线的位置关系是（ ） A．平行或垂直 【答案】C 【解析】 【分析】
利用反证法证明得解. 【详解】
不妨设空间中不相交的两条直线为a，b，另外两条异面直线为c，d， 由于a，b不相交，故a，b平行或异面， 设a，c确定的平面为?.不妨设a∥b，
①当b??时，则a，b与直线d的交点都在?内，故d??，而这与c，d为异面直线矛盾；
②当b??时，由b∥a可知bP?，又c??，故b，c没有公共点，与b，c相交矛盾. 由①②知假设a∥b错误，故a，b为异面直线. 故选C. 【点睛】
本题主要考查异面直线的判定和反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析
B．平行
C．异面
D．垂直
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