第五节 二项分布与正态分布
考点一 条件概率与相互独立事件的概率
1．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A．0.648
B．0.432
C．0.36
1
D．0.312
2
解析 该同学通过测试的概率为p＝0.6×0.6＋C2×0.4×0.6＝0.648. 答案 A
2．(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
0.6
解析 由条件概率可得所求概率为＝0.8，故选A.
0.75答案 A
3.(2011·湖南，15)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则 (1)P(A)＝________. (2)P(B|A)＝________.
解析 圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为
π2.故P(A)＝， 4π
1
2
P（A∩B）π1
P(B|A)＝＝＝.
P（A）24
π21
答案 (1) (2)
π4
4．(2014·陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg) 概率 作物市场价格(元/kg) 概率 300 0.5 6 0.4 500 0.5 10 0.6 (1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于 2 000元的概率．
解 (1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为 6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4， 因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以X所有可能的取值为
500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800.
P(X＝4 000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P(X＝2 000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，
所以X的分布列为
X P 4 000 0.3 2 000 0.5 800 0.2 (2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1，2，3)， 由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，
P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，
3季的利润均不少于2 000元的概率为
P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；
3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.8×0.2＝0.384，
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 5．(2013·辽宁，19)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题
2
解答．
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都34
是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题55的个数，求X的分布列和数学期望．
解 (1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A＝“张同学所取的3道题都是甲类题”． C61因为P(A)＝3＝，
C1065
所以P(A)＝1－P(A)＝.
6
(2)X所有的可能取值为0，1，2，3.
3
?3??2?14
P(X＝0)＝C·??·??·＝；
?5??5?5125
02
02
?3??2?1?3??2?428；
P(X＝1)＝C·??·??·＋C02??·??·＝?5??5?5?5??5?5125
12
1102
?3??2?1?3??2?457；
P(X＝2)＝C·??·??·＋C12??·??·＝?5??5?5?5??5?5125
22
2011
?3??2?436
P(X＝3)＝C·??·??·＝. ?5??5?5125
22
20
所以X的分布列为：
X P 0 4 1251 28 1252 57 1253 36 1254285736
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
125125125125
3
6．(2012·山东，19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中
42
得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，
3没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率；
(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．
解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由32
题意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，由于A＝BCD＋BCD＋BCD，根据事件的独立性
43和互斥性得P(A)＝P(BC D＋B C D＋BCD)＝P(B CD)＋P(BCD)＋P(BCD) 3?2??2??3?
＝P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＝×?1－?×?1－?＋?1－?3??4?4?3??2?2??3??2?27××?1－?＋?1－?×?1－?×＝.
3??4??3?3363?
(2)根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5. 根据事件的独立性和互斥性得
P(X＝0)＝P(BCD)
＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)] 3?2??2?1
＝(1－)×?1－?×?1－?＝，
3?364?3??
P(X＝1)＝P(B C D)
＝P(B)P(C)P(D) 3?2??2?1
＝×?1－?×?1－?＝，
3??3?124?
P(X＝2)＝P(B C D＋B C D)
＝P(BCD)＋P(BCD)
?3?2?2?＝?1－?××?1－?＋
?4?3?3??1－3?×?1－2?×2＝1， ?4??3?39????
P(X＝3)＝P(BCD＋B CD)
＝P(BCD)＋P(BCD)
32?2?3?2?21＝××?1－?＋×?1－?×＝， 43?3?4?3?33
P(X＝4)＝P(BCD)＝?1－?××＝，
4P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝.
故X的分布列为
32214333
??
3?221?339
X P 0 1 361 1 122 1 93 1 34 1 95 1 311111141
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
3612939312
7．(2011·大纲全国，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望． 解 设A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，X～B(100，0.2)，即X服从二项分布， 所以期望E(X)＝100×0.2＝20. 考点二 正态分布
1．(2015·湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
附：若X～N(μ，σ)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，
2
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4.
A．2 386
B．2 718
C．3 413
D．4 772
解析 由X～N(0，1)知，P(－1＜X≤1)＝0.682 6， 1
∴P(0≤X≤1)＝×0.682 6＝0.341 3，故S≈0.341 3.
2∴落在阴影部分中点的个数x估计值为＝(古典概型)，
10 0001∴x＝10 000×0.341 3＝3 413，故选C. 答案 C
2．(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，3)，从中
2
xS
2016届高考数学复习 第十章 第五节 二项分布与正态分布 理(全国通用)
