（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少
解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C， 则P(A)?0.9,P(B)?0.8,P(C)?0.85
（Ⅰ）P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)
?[1?P(A)][1?P(B)][1?P(C)] ?(1?0.9)(1?0.8)(1?0.85)?0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003 （Ⅱ）（P(A?B?C?A?B?C?A?B?C)） ?P(A?B?C ?)C)?P(A?B?)C?(PA?B ?P(A)?P(B)?P(C)?P(A?)P(B?)P(C?)P(?A)P(?B )P(C)?[1?P(A)P]B(P)C(?)P(A?)[1PB(P)]?C()PA(P)?B()[PC ?(1?0.9? 8(10.85))0.?80.?85?0.9?(1?0.8)?0.?85?0.9?0.?0.329答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329
5．如图，A,B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. （I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x?6时，则保证信息畅通.
求线路信息畅通的概率；
（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
111?C2?C21解：（I）?1?1?4?1?2?3?6,?P(x?6)? ?34C651?2043?1?3?4?2?2?4?8,?P(x?8)?20
21?2?3?4?9,?P(x?9)??201011313?P(x?6)?????4420104?1?2?4?2?2?3?7,?P(x?7)? （II）?1?1?2?4,P(x?4)?
13,?1?1?3?1?2?2?5,P(x?5)? 102011
∴线路通过信息量的数学期望
131131?5??6??7??8??9??6.5 10204420103答：（I）线路信息畅通的概率是. （II）线路通过信息量的数学期望是6.5
41336．三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,,,将它们中某两个元件并联后再和第三
244 ?4?元件串联接入电路.
（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.
解：记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3，则
P(A1)?133,P(A2)?,P(A3)?. 244（Ⅰ）不发生故障的事件为(A2?A3)A1. ∴不发生故障的概率为
P1?P[(A2?A3)A1]?P(A1?A3)?P(A1)?[1?P(A2)?P(A3)]?P(A1)11115?[1??]??44232（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下： 图1中发生故障事件为(A1?A2)A3 ∴不发生故障概率为
P2?P[(A1?A2)A3]?P(A1?A2)?P(A3)?[1?P(A1)?P(A2)]P(A3)?21 32?P2?P1
图2不发生故障事件为(A1?A3)A2，同理不发生故障概率为P3?P2?P1
7．要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们 的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求： （1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率. 解：设事件A?“从甲机床抽得的一件是废品”；B?“从乙机床抽得的一件是废品”. 则P(A)?0.05,P(B)?0.1 （1）至少有一件废品的概率
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P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?1?0.95?0.90?0.145（2）至多有一件废品的概率
P?P(A?B?A?B?A?B)?0.05?0.9?0.95?0.1?0.95?0.9?0.995
8．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数?的数学期望和方差
解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A,B. 设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2. 则P(A)?P1?0.6,P(B)?P2
P(A?B)?1?P(A?B)?1?(1?P1)(1?P2)?P1?P2?PP12?0.92?0.6?P2?0.6P2?0.92则0.4P2?0.32即P2?0.8(2)P(??0)?P(A)?P(B)?0.4?0.2?0.08P(??1)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.2?0.4?0.8?0.44P(??2)?P(A)?P(B)?0.6?0.8?0.48
?的概率分布为:? P 0 0.08 1 2 0.44 0.48 E??0?0.08?1?0.44?2?0.48?0.44?0.96?1.4D??(0?1.4)2?0.08?(1?1.4)2?0.44?(2?1.4)2?0.48
?0.1568?0.0704?0.1728?0.4或利用D??E(?2)?(E?)2?2.36?1.96?0.49．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？
解：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以? 表示公司每年的收益额，则?是一个随机变量，其分布列为：
? x x?a p 1?p P 因此，公司每年收益的期望值为E??x(1?p)?(x?a)p?x?ap．
a，即x?ap?0.1a 为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E??0.1，
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故可得x?a．(p?0.1)
即顾客交的保险金为 a(p?0.1)时，可使公司期望获益0.1a．
10．有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2． （1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；
(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．
1解：(1)这批食品不能出厂的概率是： P?1?0.85?C5?0.84?0.2?0.263．
(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：
13 P1?C4?0.2?0.8?0.8
五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：
13 P2?C4?0.2?0.8?0.2
由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批
13产品是否出厂的概率是：P?P?P?C?0.2?0.8?0.4096． 124
11．高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为.
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？ （Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
2解：（I）参加单打的队员有A3种方法.
12 参加双打的队员有C2种方法.
21 所以，高三（1）班出场阵容共有A3?C2?12（种）
1 （II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两
盘胜， 所以，连胜两盘的概率为
111113?????. 22222812．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.
(1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球.
解： （Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A,B，则
1C52?C323C52?C33 P(A)? ?,P(B)??77C84C84 ∵A,B为两个互斥事件 ∴P(A?B)?P(A)?P(B)?
14
6 7 即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为 （Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C，则
6 7C541 P(C)?4?至少摸出一个黑球为事件C的对立事件
C814 其概率为1?练习：
1． 抛掷2颗骰子，所得点数之和记为?，那么??4表示的随机试验结果为____________。 2． 设某项试验的成功概率是失败概率的2倍，用随机变量?描述1次试验的成功次数， 则P(??0)?_______________。 3．若?的分布列为：
113? 1414? P 0 p 1 q 其中p?(0,1)，则E??____________________，D??____________________，
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数学选修2-3 第一章 计数原理 [基础训练A组]
一、选择题
1．B 每个小球都有4种可能的放法，即4?4?4?64
12212．C 分两类：（1）甲型1台，乙型2台：C4（2）甲型2台，乙型1台：C4C5；C5 1221 C4C5?CC?4570
5235233．C 不考虑限制条件有A5，若甲，乙两人都站中间有A3A3，A5?A3A3为所求 21214．B 不考虑限制条件有A5，若a偏偏要当副组长有A4，A5?A4?16为所求 2135．B 设男学生有x人，则女学生有8?x人，则CxC8?xA3?90,
8x?) 即x(x?1)(?r83?0?2?3x5,?
148?r?r8?rx8?r1r1r18?rrr8?rr6．A Tr?1?C()(?)?(?1)()C8x3?(?1)()C8x3
3222x 令8?41?66r?0,r?6,T7?(?1)6()8C8?7 3215
新课标高中数学测试题组(选修2-3)含答案
