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一、（10分，每小题1分）
1、任一线性连续定常系统的系统矩阵均可对角形化。(×)
2、对SISO线性连续定常系统，传递函数存在零极点对消，则系统一定不能观且不能控制。(×)
3、对线性连续定常系统，非奇异变换后的系统特征值不变。(√) 4、对于线性连续定常系统的最小实现是唯一的。(×) 5、稳定性问题是相对于某个平衡状态而言的。(√) 6、Lyapunov第二法只给出了判定稳定性的充分条件。(√)
7、对于SISO线性连续定常系统，状态反馈后形成的闭环系统零点与原系统一样。(√) 8、对于一个系统，只能选取一组状态变量。(×)
9、对于一个n维的线性定常连续系统，若其完全能观，则利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统是2n维的。(√)
10、对线性定常系统，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵特征值都具有负实部是一致的。(√)
二（10分，每小题5分）
（1）简述平衡状态及平衡点的定义。 （2）简述状态方程解的意义。
解：（1）状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。由平衡状态在状态空间中所确定的点称之为平衡点。
（2）线性连续定常系统状态方程的解由两部分组成，一部分是由初始状态所引起的自由运动即零输入响应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态响应。 三、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m为运动物体的质量，k为弹簧的弹性系数，h为阻尼器的阻尼系数，f为系统所受外力。取物体位移为状态变量x1，速度为状态变量x2，并取位移为系统输出y，外力为系统输入u，试建立系统的状态空间表达式。
解：
f?ma……………………………….……1分
令位移变量为x1，速度变量为x2，外力为输入u，有
u?kx1?kx2?mx2………………………………2分
于是有
x1?x2………………………………..……………1分
x2??再令位移为系统的输出y，有
kh1x1?x2?u……….….……………….2分 mmm1 / 5oo .. ..
kk...............................................................................................................................................................................................
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y?x1…………………………….……….1分
写成状态空间表达式，即矩阵形式，有
?0?x1???x???k?2???m1??0?x??1??1?u………..……………..2分 h??????x2???m??m??x?y??10??1?……………………..……….……….2分
?x2?四、（15分）求以下系统的状态响应
?01??2??0?x(t)??x(t)?u(t),x(0)?,u(t)?e?t ???????2?3??0??1?解： 由A???01??2?得 ,b??????2?3??0? sI?A???s?1??…………….……………………………………2分
2s?3??11??s?1s?2??……………….………2分
21??s?2s?1??1?2??s?1s?2?1 (sI?A)???2?2??s?2s?1?2e?t?e?2t e???t?2t??2e?eAte?t?e?2t??…………….………….………2分
?e?t?2e?2t?t x(t)?eAtx(0)??eA(t?s)B(s)u(s)ds…………….………………2分
0?t?2t x1?(4t?1)e? e?t…………….………………...…………1分 …………….…………..………………1分
T x2?(3?4t)e?2e?2t五、（10分）令I2为二阶单位矩阵。求解Lyapunov方程AP?PA?I2?0判断以下系统的稳定性
?01?x???x
?1?1??解 令P?? 得
2 / 5oo .. ..
kk...............................................................................................................................................................................................
?ab?………….…………..…………………..……………1分 ??bc?word
a?b?c??10???2b?a?b?c2b?2c???01??0……………….………………2分 ??????2b?1?0? ?a?b?c?0……………….……………………………..………2分
?2b?2c?1?0? P???3212?……………….…………………………..…………2分 ??121? 由 a?32?0,P?54?0……………….…………..………………2分 可知P正定，所以系统渐近稳定………….……………..………………1分 六、设
?1和
?2是两个能控且能观的系统
1??0?0??1：A1???，b1??1?，C1??21? ?3?4?????2：A2??2，b2?1，C2?1（1）试分析由?1和?2所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数； 解：（1）
?1和
?2串联
当?1的输出y1是?2的输入u2时，x3??2x3?2x1?x2
0??01?0??x??1?u，y?001x x???3?40?????????21?2???0??M???bAb?01?4??1?413? A2b???????01?4??则rank M=2<3，所以系统不完全能控。
W(s)?C(sI?A)?1B?s?21?2
(s?2)(s?3)(s?4)s?7s?12当?2得输出y2是?1的输入u1时
1?0x????3?4?0?01??0??0?u，y??210?x 1?x??????2???1??3 / 5oo .. ..
kk...............................................................................................................................................................................................
现代控制理论期末试卷(优选.)
