重积分练习题
第6章 重积分练习题
习题6、1
1.设xoy平面上的一块平面薄片Ｄ,薄片上分布有密度为u(x,y)的电荷,且u(x,y)在Ｄ上连续,请给出薄片上电荷Q的二重积分表达式.
2.由平面
x4y??z?1,x?0, y?0,z?0围成的四面体的体积为V,试用二重积分表示23V.
3.由二重积分的几何意义计算4.I???DR2?x2?y2d?,D:x2?y2?R2.
??Df(x,y)d?.D:x2?y2?2y,写出I的累次积分式.
5.交换下列累次积分的积分顺序: ⑴
?a?adx?a2?x20f(x,y)dy. ⑵?dy?012y0f(x,y)dx??dy?133?y0f(x,y)dx.
6.计算下列二重积分: ⑴
3x?2y22.. ⑵D:|x|?2,|y|?2ed?(x?y)d?.D:|x|?|y|?1. ????DD1x22D:y?x,y?x(2?x?y)dxdy⑶??.. ⑷.. D:0?x?1,0?y?1dxdy??22DD1?y7.运用极坐标变换计算下列二重积分: ⑴⑵⑶
??Dx2?y2dxdy.D:x2?y2?1.
2??(xDD?y2)dxdy.D:x2?y2?6y.
2222D:x?y?4,x?0,y?0. .ln(1?x?y)d???8.现有一平面薄片,占有xy平面上的区域D,在点(x,y)处的面密度为u(x,y),且u(x,y)在D上连续,求该平面薄片的重心表达式.
9.学习(或复习)物体转动惯量的相关物理知识.探究均匀薄片转动惯量的二重积分表达式,然后计算斜边长为a的等腰直角梯形关于一直角边的转动惯量.
习题6、2
1.在直角坐标系中计算下列三重积分: ⑴
24xy???zdxdydz.V:0?x?1,0?y?2,1?z?3. V⑵
???sin(x?y?z)dxdydz.V由平面x?0,y?0,z?0,x?y?z?V?2围成.
重积分练习题
2.在柱面坐标系下计算三重积分及平面z?2所围成的立体.
3.在球面坐标系中计算三重积分
22(x?y)dxdydz,其中V由旋转抛物面z????V12(x?y2)2???V2cosx2?y2?z2x2?y2?z2dxdydz,V:?2?x2?y2?z2?4?2.
4.运用三重积分求半径为R的球体的体积.
5.运用三重积分求球面x?y?z?2z与锥面(以z轴为轴,顶角为90?)所围部分的体积. 6.求曲面(x?y?z)?8z围成部分的体积.
222222习题6、3
1.求球面x?y?z?16被平面z?1与z?2所夹部分的面积.
2.一段铁丝刚好围成三角形ABC,其中A(0,0)、B(1,0)、C(0,1),三边上点(x,y)处的线密度为x?y,求这段铁丝的质量.
222?x?tcost?3.求?zds,?为圆锥螺线?y?tsint.
??z?t?4.求
??x2?y2ds,其中?为圆周x2?y2?2x.
5.计算
?Lydx?xdy,其中L就是由点(1,0)沿上半圆x2?y2?1到(?1,0).
26.A(0,0), B(1,1)在抛物线y?x上,一质点从A移动到B沿上.在点(x,y)处所受的力F等于该点到原点的距离,且指向原点,求力F所作的功半圆.
7.利用格林公式计算:界曲线.
8.计算
??(x?y)2dx?(x2?y2)dy,?为区域0?x?1,x2?y?x的正向边
??xyS2dy?x2ydx,其中?为圆周x2?y2?1.
9.计算球面的质量m,已知球半径为1,球面上各点密度等于这点到铅直直径的距离. 10.计算11.计算12.计算
222S:x?y?z?4,z?0. (x?y?z)dS.????zdS.S就是平面x?y?z?1在第一卦限部分.
S222x?y?z?1的外表面. xdydz?ydxdz?zdxdy.为球面S??S13.用高斯公式计算上面第12题.
复习题六
重积分练习题
一、判断题(正确的打“√”,错误的打“×”)
1.若f(x,y)?0,则??f(x,y)dxdy的几何意义就是以区域D为底、曲面z?f(x,y)D为曲顶的曲顶柱体的体积. ( )
2.若设D?{(x,y)|0?x?1,?1?y?1},则??xexydxdy?0. ( )
D3.若设D就是由x?y?1、x?y?1与y?0所围成的区域,则有
??xydxdy??dx?D01x?11?xxydy. ( )
1e4.?dx?1elnx0f(x,y)dy??dy?yf(x,y)dx. ( )
0e5.若设L就是围成区域D的边界曲线,则?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy
???(D?P?Q?)d?. ( ) ?x?y二、填空题
1.设D?{(x,y)||x|?1,|y|?2},则??dxdy? . Dx2?y2?1},则??dxdy? . 2.设D?{(x,y)|4D3.设D?{(x,y)|x2?y2?R2},由重积分的几何意义得??R2?x2?y2d??
D . 4.若?dx??a0a2?x20f(x,y)dy??d??rf(rcos?,rsin?)dr,则(?,?)?
?0?a . x2y2??1的正向边界,?3xdx?cosydy? . 5.设L为椭圆
L94三、选择题
1.若D就是由y?kx(k?0),y?0与x?1围成的三角形区域,且??xy2dxdy?D1,15则k? ( )
A.1 B.3412 C.3 D.3 5155?2sin?002.将极坐标系下的二次积分I??d??rf(rcos?,rsin?)dr化为直角坐标系下
重积分练习题
的二次积分,则I? ( )
A.?dy??1111?1?y21?1?y22y?y2f(x,y)dx B.?dx?01?122x?x2?2x?x21?1?x2f(x,y)dy f(x,y)dy
C.?dy??1?2y?y22f(x,y)dx D.?dx?11?1?x23.二次积分?dx?x2f(x,y)dy交换积分次序为 ( )
04A.?dy?0214y4yf(x,y)dx B.?0dy?0f(x,y)dx D.?dy?01224yf(x,y)dx
C.?dy?0104yf(x,y)dx
4.若D就是由y?x2与x?y2所围成的区域,L为区域D的正向边界,则
1212xdy?ydx= ( ) ?L3211413A. B. C. D. 1494525.若L就是围成平面内一闭区域D的正向边界曲线,则曲线积分?xexydx?x2dyL可化为二重积分 ( )
A.??(x2exy?2x)d? B.??(2x?x2exy)d?
DDC.??(exy?x2exy)d? D.??(exy?x2exy)d?
DD四、解答题
1.区域D就是由抛物线x?值
2.设D?{(x,y)|x2?y2??2},求二重积分??sinx2?y2dxdy
Dy,直线x?0与3x?2y?2?0围成,计算??xdxdy的
D3.计算?(exsiny?y)dx?(excosy?1)dy,其中Ｌ就是圆周x2?y2?4x,且正向为
L逆时针方向
4.求半径为R,高为H(H?R)的球冠面积
5.求两个底面半径相等的直交圆柱面x2?y2?R2与x2?z2?R2所围成的立体的体积
重积分练习题
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