2013年全国高中数学联赛江苏赛区复赛 - 图文

中等数学年全国高中数学联赛江苏赛区复赛中田分类 文献标识文章编号:四边形的边长求一的值、填空题每小题分共分)三、分设动点作为切点求线段在直线的两条切线仙中点财、上运若对实数函数动过其中人四、的轨迹方程?(分若实数)、满足则函数的最小值为求—的最大值和最小值在区域满足中随机取点”加一试分别与切于、叫设出“咖!的概率为的最大整数若的取值范围为、分如图)表示不超过实数为索数则实数n过点的割线与与仙交于点交于点证明为的中点￡若则、为两个不同的实数且°已知分别为椭圆尸的贝左右焦点点、在捕圆上若图二、分设正实数、满足已知半径为的球面上有、四点—若为则四面体体积的最大值…丨已知…巧……。与为互不相等的个实数若方程□求三。…、(分圆周上依次排列着木)…——…。丨七。共一个不问的点母个点染红、蓝绿二、有有限多个解则此方程最多有个解色之在以任意两个同色点为端点的圆弧上与若除以的余数为则最小的此两端点异色的点的个数为偶数的染色方法称为“好染色四、”问所有好染色方法有多少种?二、(分已知数列丨满足分设)为奇素数整数…均与互素若对…广均有。年第期证明…:…而除以的余数互不相同当卜爿或卜士时易知参考答案第试卜不是素数一、由题意知令由一得令则故又得易知是区间上的单调增函数所以⑴设汰则考虑函数押故°及矣区域中的面积而则°由对称性割补知满足—、丨丨取异面直线、的公垂线段记异面的点的面积为故其概率为□直线仙与所成的角为舍矣士或舍名丨则四麵邮邙矣因为卜丄、卜丄均为整数要使设四面体仙⑶外接球的球心为、的中点分别为五、尺卜士为素数所以卜士、卜士中则￡一个为或$“异面直线与的距离为当卜时—故面矣顺矣万此时满足题意当仙丄时以仙为直径的小圆所在平;面与以为直径的小圆所在平面平行(球心在当士时两小圆面之间)上式等号成立一一令欠…)无…欠此时满足题意;于是由题意知⑷中等数学设………。为集合办…(。办…。则由费马—中的所有元素按递增顺賴排列且在定理知、这个区间的每个中函数⑷均为线性的中设为使《的最小正整数则注意到在区间《而…调°赚区间中⑷妒故因为方程根的个数有限所以〃沿着数轴的系数为自左向右移动开始时中的每当越过一个增大因此时幻中均有个绝对值的去掉方式发生变±综上…二、化使得的系数变化或减小这以前由题设知忘表明的系数恒为偶数并且不会在变为若。则改变符号由此知该系数在任何两个相邻的区间中均要么同为非负要么同为非正从而幻在矛盾于是这样的区间并集上要么同为非升要么同为非降如此一来若…幻只有有限个根则其在区间从而四边形的边长为尸。、尺。、、中均分别有不多若(矣则矣于个根此外由于与的符号不同圪而幻在每个根处均发生变号于是幻矛盾于是。有奇数个根从而最多有九个根另一此时方面不难验证若从而四边形的边长为义、。故三、。。)切点、则切线柯则方程、的方程分别为恰有九个根因为尸为两条切线的交点所以注意到由」知于是点、的坐标满足方程$九9即个另方面。于是」“被个、、、整除设点被整除则对任意正整数二个…显然丨被被整除的充分必要条件是`整除的充分必要条件是又点在直线上则年第期由—四点共圆知四、设则故故沒)、￡、丑、四点共圆从而及由一十子9知于是点￡与￡重合二、由已知条件得矣。。及又。由余弦定理可构造如下几何模型丄`丄平面上共端点角为。的线段、、两两夹且尸。则告《矣于是仙以从而■为直角三角形其面积为当:时《此时则———故力口试一、同一法与仙交于点￡如图￡作联结并延长与交于点因此三、$$考虑一般的情形奇数:圆周上有个不同的点时的好染色种数显然三种单色染色方法是好染色图接下来求非单色好染色只需证明即得点与重合只需证明设的集合表示圆周上表示圆周上与个不同点时非单色好染色个不同点时任意相邻两之间的对应联结丑延长与交于点为点异色的染色方法的集合作丄于点则的中点可建立集合一—故只需证明因为、考虑圆周上所以只需证明为奇数边形设奇顶点的、￡、染色属于集合定义每个偶顶点的颜色与其相四点共圆邻奇顶点不同则得偶顶点的染色方法是好染色中等数学若以两个同色点为端点的某一段圆弧之“同得毛所染的颜色也相同依此类推在下间没有与端点同色的点则称这两点为最近同点…屯…人所染的颜色分别相同即这色点”与假设一矛盾为单射为满射显然个染色方法为好染色点的充分必要因此(条件为任意两个最近同色点之间的异色点个数为偶数对设位于是中的相邻异色偶顶点先证明偶顶点的染色方法为力□一个好染色即则定义、之间的奇顶点不同于证明任意两个最近同色点的偶顶点之间包含的偶若?、为中—串连续同色不妨(设为红色偶顶点它们位于偶顶点财况、之间若同色不妨设为蓝色)则为撤若为时则结誠立奇数则两同色点之间的异色点个数为奇数与好;…当时记个偶顶点为染矛盾)此时定义、之间所有奇顶点的……”贝,在`之间还包含个奇顶点记为的颜色依次为蓝绿、`排列如下因为点尽民若似、异色不妨设丨拟为蓝色为绿色一)为奇数若不然…为偶数则每段连续同民均不为红色所以点岑色点的偶顶点为偶数个否则不妨设沿…对方向存在点民艮…与次〖的颜色不能为蓝绿或绿、、見若点琴与斤重合则为蓝)(若出现上述两种情形则孕又点与人为红色与假偶数与为奇数矛盾若点尽与与不重合则设矛盾、中一不同色则点、由点七…与相邻的点或…之一同个隔一个的为红色为红色…色其之间所包含的异色点为奇数矛盾定义、、此时知点红色从而不为红色于是点皂山、为之间所有奇顶点的……的颜色依次为偶数即中包含的异色顶点为绿蓝绿、、蓝如此定义的奇顶点染色方为偶数个因此偶顶点染色方法为好染色故得到一法相邻两个奇顶点颜色相异最后计算集合圆周上由个从集合尤到再证明记圆周上的映射一中元素的个数记表示对为一对应为奇…个点的好的染色法的个数为单射则边形顶点尾为偶顶点其中设若《、因为为非单色好;染色所以存在两个相邻异色偶顶点不妨设为(圪、从而得到、的对应这两偶顶点之间的奇顶点由…的颜色相同及的定义知`仏人…一:口故好染色方法驗为°°…规定、三个顶点所染的颜色不同换言之为丄所染的颜色由人孕唯、确定这四设…除以、的余数为…其中样由点…在、及下所染颜色分别相同得、则因此对于…所染颜色也相同再由艮所染颜色分别相均有年第期年全国高中数学联赛辽宁赛区预赛中图分类号文献标识码:文章编号:一、选择题每小题分共分)任意的均有的一已知集合若。是方程幻个解且则糾聞则实数取值細是或(□内直径为$满足、髙为的圆柱形容器)中最多可放人直径为的小球的个数是(或与双曲线过原点的直线、町及交于轴的设实数两点点在第二象限将下半平面沿折起使之与上半平面成直二面角则线段最短长度为()则为()的最大值二、设、、、均为非零复数令填空题每小题°分共分)若、“则右丁一—则的最大值为—在长方体仙±岑中巳知仙则异面直线岑与民坏的距离为已知是上的单调函数且对巳知椭圆心心欲证的…:①互不相同只需证对任意丨故:￡:…广存在丨广丨②`使得否则存整数对任細`使得由華知由式③②③有、矛盾从而(从而结论成立利用费马小定理知(吴忠麟提供)