三、解答题
12.解：求得x?2?1，化简得：原式=x?1=2?2 13、（1）由题意可知，m?m?1???m?1??2m?3? 解得m1＝3，m2＝－1（舍去） ∴A（3，4），B（6，2）； ∴k＝4×3＝12；
（2）直线MN的函数表达式为y??x?2或y??x?2； （3）14、
（1）证明：略
（2）解：作OH⊥AC，垂足为H，不妨设OE=1， ∵
CF＝n，△OEF∽△CDF，∴CD=n， OF2527?b? 882323∵OE=1， ∴AC=2．
∴AD=2-n，由△CDB∽△BDA，得BD2=AD?CD． ∴BD2=n?（2-n），BD＝2n?n ∴OH＝BD＝
122n?n2?n2?n，而CH＝n+= 2222n?n2OH∴tan∠ACO＝=
n?2CH15、解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a(x－1)2＋4， 依题意，将点B（3，0）代入，得：
a(3－1)2＋4＝0
解得：a＝－1
∴所求抛物线的解析式为：y＝－(x－1)2＋4
（3）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y＝－(x－1)2＋4，得y＝－(2－1)2＋4＝3 ∴点E坐标为（2，3）
y PC 又∵抛物线y＝－(x－1)2＋4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D ∴当y＝0时，－(x－1)＋4＝0，∴ x＝－1或x＝3 当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3） 又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………② 分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：
k?1?k?b?0 ? 解得：? ??A 2
D E F O I H G B Q 图6
?2k?b?3?b?1过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1 ∴当x＝0时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1）
∴DF?2………………………………………③ 又∵点F与点I关于x轴对称，
∴点I坐标为（0，－1） ∴EI?DE2?DI2?22?42?25………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可 由图形的对称性和①、②、③，可知， DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1（k1≠0），
分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：
??2k1?b1?3k1?2 解得：? ?b??1?1?b1??1过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1 ∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝1； ∴点G坐标为（1，1），点H
2坐标为（12，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI 由③和④，可知： DF＋EI＝2?25 5。
y C ∴四边形DFHG的周长最小为2?2（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB， 要使，△DNM∽△BMD，只要使NM?MDMDBDD T N 即可，
A 即：MD2＝NM×BD………………………………⑤
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD， O B M x
图7
∴NMBD?AMAB
2再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝3∴MN?AM?BD?(1?a)?3AB42?32(1?a) 4，AB＝4
∵MD2＝OD2＋OM2＝a2＋9， ∴⑤式可写成： a2＋9＝3224(1?a)×32
解得：a＝3或a＝3（不合题意，舍去） ∴点M的坐标为（3，0）
2又∵点T在抛物线y＝－(x－1)2＋4图像上， ∴当x＝3时，y＝15
24∴点T的坐标为（3，15）
24
第二套：满分120分
2020-2021年马鞍山市第二中学初升高
自主招生数学模拟卷
一．选择题（共6小题，满分42分）
1. （7分）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是( ) A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜1 2.（7分） 如图，抛物线y??x2?2x?m?1交x轴于点A（a，0）和B（b， 0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个命题：①当x>0时，y>0；②若a??1，则b?4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1<1
EDFG周长的最小值为62. 其中真命题的序号是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3.（7分）设二次函数y1?a(x?x1)(x?x2)(a?0，x1?x2)的图象与一次函
0)，若函数y?y2?y1的图象与x轴仅数y2?dx?e?d?0?的图象交于点(x1，有一个交点，则( )
2a(x1?x2)?d；B. a(x2?x1)?d；C. a(x1?x2)?d；D. a?x1?x2?A. 2?d
4.（7分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，
1k2点A是函数y? (x<0)图象上一点，AO的延长线交函数y?（x>0，
xxk是不等于0的常数)的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，
点C关于x轴的对称点为C′，连接CC′，交x轴于点B，连结AB，
【新】2019-2020马鞍山市第二中学初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】
