高中数学选修2-3离散型随机变量的均值与方差精选题目（附答案）
(1)离散型随机变量的均值的概念及性质 ①一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
②若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)两点分布与二项分布的均值
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p. ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np. (2)离散型随机变量的方差、标准差 随机变量X的分布列为
X P n
x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则把D(X)＝? (xi－E(X))2pi叫做随机变量X的方差，D(X)的算术平方根
i＝1
D?X?叫做随机变量X的标准差，随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．
(2)服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 ①若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；
②若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． (3)离散型随机变量方差的性质 ①D(aX＋b)＝a2D(X)； ②D(C)＝0(C是常数)．
一、离散型随机变量的均值
1．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分X的均值．
解：取出4只球，颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2
13C4C34
黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为P(X＝5)＝C4＝35. 7
22C4C318
P(X＝6)＝C4＝35.
731C4C312
P(X＝7)＝C4＝35.
740C4C31
P(X＝8)＝C4＝35.
7
随机变量X的分布列为
X P 5 435 6 1835 7 1235 8 135 41812144所以E(X)＝5×35＋6×35＋7×35＋8×35＝7. 注：
求离散型随机变量的均值的一般步骤：
(1)理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值； (2)求随机变量取每一个值的概率； (3)列出随机变量的分布列； (4)根据均值的计算公式求出E(X)．
2．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和均值．
解：由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3.
03C3C7357
P(X＝0)＝C3＝120＝24，
1012C3C76321
P(X＝1)＝C3＝120＝40，
1021C3C7217
P(X＝2)＝C3＝120＝40，
1030C3C71
P(X＝3)＝C3＝120.
10
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P 724 2140 740 1120 721719∴E(X)＝0×24＋1×40＋2×40＋3×120＝10.
3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的均值是( )
A．0.2 B．0.8 C．1 D．0
解析：选B 因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B.
4．一个口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取2个球，用X表示取出球的较大号码，则E(X)等于( )
A．4 B．5 C．3 D．4.5
11
11C221C33
解析：选A P(X＝2)＝C2＝10，P(X＝3)＝C2＝10＝5，P(X＝4)＝C2＝10，5551
C4421132
P(X＝5)＝C2＝10＝5，故E(X)＝2×10＋3×5＋4×10＋5×5＝4.
5
5．某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：
培训次数 参加人数 1 5 2 15 3 20 (1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率；
(2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及均值E(X)．
解：(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P＝1－
11C15C15C20419
＝494. C340
(2)由题意知X＝0,1,2，
22
C5＋C26115＋C20
P(X＝0)＝＝2C40156， 111
C5C15＋C115C2025
P(X＝1)＝＝52， 2C40
高中数学选修2-3离散型随机变量的均值与方差精选题目(附答案)
