uuur???CBgn1?0,?3x1?0,则?uuu所以? ry?z?0.???11?CPgn1?0.不妨令y1?1，则n1?(0,1,?1)．
uuuruuur因为AP?(0,0,1),AB?(3,?1,0),
设平面ABP的法向量为n2?(x2,y2,z2)，
uuur???APgn2?0,?z2?0,则?uuu所以 r????3x2?y2?0.?ABgn2?0.不妨令x2?1，则n2?(1,3,0)． 于是cos?n1,n2??36． ?422由图（1）知二面角C-PB-A为锐角， 故二面角C-PB-A的余弦值为
6…………………………12分 4 （Ⅱ）解法二：如图（2），过C作CM⊥AB于M，
因为PA⊥平面ABC，CM?平面ABC， 所以PA⊥CM．
又因为PA?AB?A，且PA?平面PAB，AB?平面PAB， 所以CM⊥平面PAB．
过M作MN⊥PB于N，连接NC， 由三垂线定理得CN⊥PB，
所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角． 在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1， 得BC?3，CM?33，BM?． 22第18题图（2）
在Rt△PAB中，由AB=2，PA=1，得PB?5． 因为Rt△BNM∽Rt△BAP，
335MN所以 ?2，所以MN?1015所以在Rt△CNM中，CN?所以cos?CNM?30， 56， 46…………………………4所以故二面角C-PB-A的余弦值为
12分
19．（本题满分12分）
某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X Y 1 51 2 48 3 45 4 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（Ⅰ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（Ⅱ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望． 19．解：（Ⅰ）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，
边界上的作物株数为12．
1 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C13C12?36（种），
选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8（种）
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相
近”的概率为分
82?……………………………………………………6369（Ⅱ）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列 因
为
P(Y?51)?P(X?1)，P(Y?48)?P(X?2)，
P(Y?45)?P(X?3)，
P(Y?42)?P(X?4)，
所以只需求出P(X?k)(k?1,2,3,4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k?1,2,3,4)，则
n1?2，n2?4，n3?6，n4?3．由P(X?k)?nk得 NP(X?1)?P(X?4)?31? 155215，P(X?2)?415，P(X?3)?62?155，
故所求Y的分布列为
Y P 51 48 45 42 2 154 152 51 5所求的数学期望为 E(Y)?51?…12分
20．（本题满分12分）
242134?64?90?42?48??45??42???461515555…
已知圆M:(x?1)2?y2?1，圆N:(x?1)2?y2?9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的
半径最长时，求|AB|．
20．解：由已知得圆M的圆心为M（-1，0），半径r1?1；
圆M的圆心为N（1，0），半径r2?3．
设圆P的圆心为P（x，y），半径R．
（Ⅰ）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|?|PN|?(R?r1)?(r2?R)?r1?r2?4
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为
3的椭圆（左顶点除外），其方程为
x2y2??1(x?2)………………6分 43（Ⅱ）对于曲线上任意一点P(x,y)，由于|PM|?|PN|?2R?2?2，
所以当R?2，当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2，
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x?2)2?y2?4
若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|?23 oo
若l的倾斜角不为90，由r1?R知l不平行于x轴，
设l与x轴的交点为Q，则可求得Q（-4，0）， 所以可设l:y?k(x?4) 由l与圆P相切得|QP|R?， |QM|r1|3k|1?k2?1
解得k??2 422x2y2当k?时，将y?x?2代入??1，
4443整理得7x2?8x?8?0，
解得x1,2??4?62 7所以|AB|?1?k2|x2?x1|?综上，|AB|?23或|AB|?21．（本题满分12分）
18 718……………………………………12分 7?x2?2x?a,x?0,已知函数f(x)??其中a是实数．设A(x1,f(x1))，
lnx,x?0,?B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点，且x1?x2．
（Ⅰ）指出函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2?0，求x2?x1的最小值；
（Ⅲ）若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围． 21．解：（Ⅰ）函数f(x)的单调递减区间为（-∞，-1），
单调递增区间为[-1，0），（0，+∞）……………………………………2
分
（Ⅱ）由导数的几何意义可知，
点A处的切线斜率为f?(x1)，点B处的切线斜率为f?(x2)， 故当点A处的切线与点B处的切线垂直时， 有f?(x1)f?(x2)??1
当x?0时，对函数f(x)求导，得f?(x)?2x?2 因为x1?x2?0，所以(2x1?2)(2x2?2)??1 所以2x1?2?0，2x2?2?0
因此x2?x1?[?(2x1?2)?2x2?2]?[?(2x1?2)](2x2?2)?1， 当且仅当?(2x1?2)?2x2?2?1，
12
2020-2021学年湖北省高三5月调研测试数学(理)试卷及答案解析
