y
vAy
A vBy
vAx B vBx O
?
x
P
vCy
C
图1
如图1所示，建直角坐标系Oxy，x轴与挡板垂直，y轴与挡板重合，以vAx、vAy、vBx、
vBy、vCx和 vCy分别表示球C与挡板刚碰撞后A、B和C三球速度的分量，根据题意有
vCx?0 （1）
以J表示挡板作用于球C的冲量的大小，其方向沿x轴的负方向，根据质点组的动量定理有 ?J?mvAx?mvBx?3mv0 （2） 0?mvAy?mvBy?mvCy （3） 以坐标原点O为参考点，根据质点组的角动量定理有
Jlsin??mvAy?lcos??lcos???mvBylcos??mv0lsin?因为连结小球的杆都是刚性的，故小球沿连结杆的速度分量相等，故有 vAx?vBx vCysin??vBysin??vBxcos? vAxcos??vAysin???vCysin? （7）式中?为杆AB与连线AC的夹角. 由几何关系有
cos??2cos?1?3cos2? sin??sin? 1?3cos2?解以上各式得
J?mv20(1?2cos?) vAx?v0sin2? vAy?v0sin?cos? vBx?v0sin2? vBy?0 vCy??v0sin?cos? （4） （5） （6） （7）
（8）
（9）
10）
11）
12）
13） 14）
15）
（ （ （ （ （ （按题意，自球C与挡板碰撞结束到球A (也可能球B)碰撞挡板墙前，整个系统不受外力
作用，系统的质心作匀速直线运动. 若以质心为参考系，则相对质心参考系，质心是静止不动的，A、B和C三球构成的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求出转动角速度，可考察球B相对质心的速度.由(11)到(15)各式，在球C与挡板碰撞刚结束时系统质心P的速度
vPx?mvAx?mvBx?mvCx2?v0sin2? （16）
3m3mvAy?mvBy?mvCy3m?0 （17）
vPy?这时系统质心的坐标为
xP??lcos? （18）
1yP??lsin? （19）
3不难看出，此时质心P正好在球B的正下方，至球B的距离为yP，而球B相对质心的速度
1 vBPx?vBx?vPx?v0sin2? （20）
3vBPy?0 （21）
可见此时球B的速度正好垂直BP，故整个系统对质心转动的角速度 ??vBPxv0sin? （22） ?yPlA先于球B与挡板发生碰撞，则在球C与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质
心转过π/2角，即杆AB至少转到沿y方向，如图2所示. 系统绕质心转过π/2所需时间
若使球
1π2 t? （23）
?在此时间内质心沿x方向向右移动的距离
?x?vPxt （24） 若
y
A O
x
P
B
图2
yP??x?xP25）C （
则球B先于球A与挡板碰撞. 由以上有关各式得
3 （26） 1?? ??arctan即
??36? (27)
评分标准：
本题25分. （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式各2分，（10）、（22）式各3分，（23）式1分，（24）、（25）式各2分，（26）或(27)式2分.
四、（21分）如图所示，虚线小方框是由
2n个电容器联成的有限网络；虚线大方框是并联的两个相同的无限网络，此无限网络的结构是：从左到中间，每个电容器的右极板与两个电容器的左极板相连，直至无穷；从中间到右，每两个电容器的右极板与一个电容器的左极板相连，直至联接到一个电容器为止。网络中的所有电容器都是完全相同的平行板真空电容器，其极板面积为S，极板间距为d（d??S）。整个电容网络体系与一内电阻可忽略不计的电池连
接，电池电动势恒定、大小为?。忽略电容器的边缘效应，静电力常量k已知。 1、若将虚线小方框中标有a的电容器的右极板缓慢地向右拉动，使其两极板的距离变为2d，求在拉动极板过程中电池所做的功和外力所做的功。
2、在电容器a两极板的距离变为2d后，再将一块与电容器a的极板形状相同、面积也为S、带电荷量为Q（Q?0）的金属薄板沿平行于a的极板方向全部插入到电容器a中，使金属薄板距电容器a左极板的距离为x。求此时电容器a的左极
第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案
