恰当采用放缩法 巧证导数不等式
市第四十四中学 明亮
放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到．由于近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩.下面试举几例，以供大家参考． 一、利用基本不等式放缩，化曲为直
例1（2012年高考卷理科第21题（Ⅱ））设f(x)?ln(x?1)?x?1?1.证明：当
0?x?2时，f(x)?9x. x?6证明：由基本不等式，当x?0时，2(x?1)?1?x?2，故x?1?x?1. 2?f(x)?ln(x?1)?x?1?1?ln(x?1)?记h(x)?ln(x?1)?x 2x9x， ?2x?61154x(x2?15x?36)???则h'(x)?. x?12(x?6)22(x?1)(x?6)2当0?x?2时，h'(x)?0，所以h(x)在(0,2)是减函数.故又由h(x)?h(0)?0，所
x9x9x，即ln(x?1)?x?1?1?， ?2x?6x?69x 故当0?x?2时，f(x)?.
x?69x评注：本题第(Ⅱ)问若直接构造函数h(x)?f(x)?，对h(x)进行求导，由于
x?6以ln(x?1)?h'(x)中既有根式又有分式，因此h'(x)的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对x?1进行放缩处理，使问题得到解决.上面的解法中，难点在用基本不等式证明
x?1?xx?1，亦即是将抛物线弧y?x?1放大化简为直线段y??1，而该线段正是
22x?1在左端点(0,1)处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处
抛物线弧y?理函数问题的常用方法. 二、利用单调性放缩，化动为静
例2（2013年新课标全国Ⅱ卷第21题（Ⅱ））已知函数f(x)?e?ln(x?m).当m?2时，证明f(x)?0.
x 页脚 .
1(x?m)ex?1?证法1：函数f(x)的定义域为(?m,??)，则f'(x)?e?. x?mx?mxx设g(x)?(x?m)e?1，因为g'(x)?(x?m?1)e?0，
x所以g(x)在(?m,??)上单调递增. 又g(?m)??1?0，g(2?m)?2e2?m?1?2?1?1?0，
故g(x)?0在(?m,??)上有唯一实根x0.
当x?(?m,x0)时，g(x)?0，f'(x)?0；当x?(x0,??)时，g(x)?0，f'(x)?0，从而当x?x0时，f(x)取得最小值为f(x0).
由方程g(x)?0的根为x0，得ex0?1，ln(x0?m)??x0，
x0?m故f(x0)?11?x0??(x0?m)?m?2?m（当且仅当x0?m?1取等号），
x0?mx0?m又因为m?2时，所以f(x0)?0. 取等号的f(x0)?0条件是x0?m?1，e的，所以f(x0)?0，故 f(x)?0.
证法2：因y?lnx在定义域上是增函数，而m?2，所以ln(x?2)?ln(x?m)， 故只需证明当m?2时，f(x)?0即可.
当m?2时，f'(x)?e?xx0?1及m?2同时成立，这是不可能
x0?m1在(?2,??)上单调递增. x?2又f'(?1)?0,f'(0)?0，故f'(x)?0在(?2,??)上有唯一实根x0，且x0?(?1,0). 当x?(?2,x0)时，f'(x)?0；当x?(x0,??)时，f'(x)?0，从而当x?x0时，f(x)取得最小值.
由f'(x)?0得ex0?1，ln(x0?2)??x0， x0?2(x0?1)21故f(x)?f(x0)??x0??0.
x0?2x0?2 页脚 .
综上，当m?2时，f(x)?0.
评注：借助导数取值研究函数单调性是证明初等不等式的重要方法.证法1直接求导证明，由于其含有参数m，因而在判断g(x)的零点和求f(x)取得最小值f(x0)显得较为麻烦；证法2利用对数函数y?lnx的单调性化动为静，证法显得简单明了.此外，本题也是处理函数隐零点问题的一个经典例. 三、活用函数不等式放缩，化繁为简
两个常用的函数不等式： e?x?1(x?R)
xlnx?x?1(x?0)
两个常用的函数不等式源于高中教材（人教A版选修2-2，P32）的一组习题，曾多次出现在高考试题中，笔者曾就此问题写过专题文章[1].
bex?1例3（2014年高考新课标Ⅰ卷理科第21题）设函数f(x)?aelnx?，曲线
xxy?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?e(x?1)?2.
（I）求a,b
（II）证明：f(x)?1.
分析：本题以曲线的切线为背景，考查导数的几何意义，用导数作工具研究函数的单调性，求函数最值以及不等式的证明.第（I）问较容易，一般学生都能做出来，只需求出函数
f(x)的导数，易得a?1,b?2.第（II）问难度较大，主要考查考生运用导数知识证明不等
式的能力及运算求解能力，是近年来高考压轴题的热点问题.本题第（II）问证法较多，下面笔者利用函数不等式来进行证明.
证明：由e?x?1，得e故
xx?1?x，即ex?ex，
1?e?x（当且仅当x?1时取等号） ① ex11?11?x1x?1?x，得?e，故eex?ex，两边取自然对数得ln(ex)?1?， 又由exex即lnx?11?0（当且仅当x?时取等号） ② exe 页脚 .
放缩法在导数压轴题中的应用-郑州第四十四中学
