在变速直线运动的路程公式(A.51)里，自变量是t，被积函数是v(t)，积分的上、下限分别是tb和ta；在变力作功的公式(A.52)里，自变量是s，被积函数是F(s)，积分的上、下限分别是sb和sa.
求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理： 如果被积函数f(x)是某个函数Ф(x)的导数，即
f(x)=Ф′(x)，
则在x＝a到x＝b区间内f(x)对x的定积分等于Ф(x)在这区间内的增量，即
现在我们来证明上述定理。
在a?x?b区间内任选一点xi，首先考虑Ф(x)在x=xi到x=xi+△x≡xi+1
区间的增量△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)：
但按照定理的前提，Ф′(x)=f(x)，故
△Ф(xi)≈Ф′(xi)△x=f(xi)△x.
式中≈表示“近似等于”，若取△x→0的极限，上式就是严格的等式。 把a?x?b区间分成n－1小段，每段长△x.上式适用于每小段。根据积分的定义和上式，我们有
因x1＝a，xn＝b，于是得(A.53)式，至此定理证讫。
下面看看函数Ф(x)在f-x图(见图A-13)中所表现的几何意义。如前所述，△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)=f(xi)△x，正是宽为△x、高为
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积。它和曲线段PiPi+1下面的梯形xixi+1Pi+1Pi的面积只是相差一小三角形PiNPi
＋1的面积。当△x→0时，可认为△Ф(xi)就是梯形xixi+1Pi+1Pi的面积。
既然当x由xi变到xi+1时，Ф(x)的增量的几何意义是相应区间f-x曲线下的面积，则Ф(x)本身的几何意义就是从原点O到x区间f-x曲线下面的面积加上一个常量C＝Ф(0).例如Ф(xi)的几何意义是图形OxiPiP0的面积加C，Ф(xi＋1)的几何意义是图形Oxi+1Pi+1P0的面积加C，等等。这样，△Ф(xi)=Ф(xi+1)-Ф(xi)就是：
(Oxi+1Pi+1P0的面积+C) -(OxiPiP0的面积+C) =xixi+1Pi+1Pi的面积，
而Ф(b)-Ф(a)的几何意义是： (ObPbP0的面积+C) －(OaPaP0的面积+C) ＝abPbPa的面积。
5.3不定积分及其运算
在证明了上述定积分的基本定理之后，我们就可以着手解决积分的运算问题了。根据上述定理，只要我们求得函数Ф(x)的表达式，利用(A.53)式立即可以算出定积分
去求Ф(x)的表达式呢？上述定理告诉我们，Ф′(x)=f(x)，所以这就相当于问f(x)是什么函数的导数。由此可见，积分运算是求导的逆运算。如果f(x)是Ф(x)的导数，我们可以称Ф(x)是f(x)的逆导数或原函数。求f(x)的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数。
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在上节里我们讲了一些求导数的公式和定理，常见的函数我们都可以按照一定的法则把它们的导数求出来。然而求逆导数的问题却不像求导数那样容易，而需要靠判断和试探。例如，我们知道了Ф(x)＝x3的导数Ф′(x)＝3x2，也就知道了F(x)＝3x2的逆导数是Ф(x)＝x3.这时，如果要问函数f(x)＝x2的逆导数是什么，那么我们就不难想到，它的逆导数应该是x3/3.这里要指出一点，即对于一个给定的函数f(x)来说，它的逆导数并不是唯一的。Ф1(x)＝x3/3
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是f(x)＝x的逆导数，Ф2(x)＝x/3＋1和Ф3(x)=x/3－5也都是它的逆导数，因为Ф′(x)、Ф2′(x)、Ф3′(x)都等于x2.一般说来，在函数f(x)的某个逆导数Ф(x)上加一任意常量C，仍旧是f(x)的逆导数。通常把一个函数f(x)的逆导数的通式Ф(x)＋C叫做它的不定积分，并记作∫f(x)dx，于是
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因在不定积分中包含任意常量，它代表的不是个别函数，而是一组函数。
表A-4基本不定积分公式 函数f(x xn(n≠-1) n=1时，x1=x n=2时，x2 n=3时，x3 18
???? -cosx+C sinx+C ln|x|+C x???? sinx cosx xe e+C 上面所给的例子太简单了，我们一眼就能猜到逆导数是什么。在一般的情况下求逆导数，首先要求我们对各种函数的导数掌握得很熟练，才能确定选用那一种形式的函数去试探。此外，掌握表A-4中给出的基本不定积分公式和其后的几个有关积分运算的定理，也是很重要的。(表中的公式可以通过求导运算倒过来验证，望读者自己去完成)
下面是几个有关积分运算的定理。
定理一 如果f(x)＝au(x)(a是常量)，则
定理二 如果f(x)=u(x)±v(x)，则
这两个定理的证明是显而易见的，下面我们利用这两个定理和表A－4中的公式计算两个例题。
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定理三 如果f(x)=u(v)v′(x)，则
此定理表明，当f(x)具有这种形式时，我们就可以用v来代替x作自变量，这叫做换元法。经过换元往往可以把比较复杂的积分化成表A-4中给出的现成结果。下面看几个例题。
解：令u(v)＝sinv，v(x)＝ax＋b， dv＝v′(x)dx＝adx，经换元得
解：令v(x)=sinx，则dv＝v′(x)dx＝cosx dx，于是
于是
5.4通过不定积分计算定积分
当我们求得不定积分
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高中物理竞赛的数学基础(自用)
