从数学的三大危机看数
学与哲学
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从三次数学危机浅谈数学与哲学的关系
摘要
哲学是人类关于自然、社会、思维的基本规律,数学是一门高度抽象而又逻辑严谨的科学.哲学像是望远镜,指导着数学发展的方向.数学像是显微镜,探索着世界的奥秘.本文将从三次数学危机出发,浅谈哲学与数学的关系. §1“万物皆数”观点的破灭与再生--第一次数学危机
毕达哥拉斯学派主张”数”是万物的本原,而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比.他们认为：1是最神圣的数字,1生2,2生诸数,数生点,点生线,线生面,面生体,体生万物.有趣的是,正是毕达哥拉斯自己的发现,导致”万物皆数”观点的破灭.毕达哥拉斯（也许是他的门徒希帕索斯）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的,它们的比不能归结为整数或整数之比.这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条,同时也冲击了当时希腊人的普遍见解从而触发了数学史上的第一次危机.为避开这一障碍,数学家们走上了几何学的研究道路,从而在对无理数的争论过程中诞生了欧几里德几何学.之后,大约在19世纪20年代左右又诞生了非欧几何.
提出”万物皆数”的观点是一个错误.因为数是概念,不是物.但这个错误背后是一个人类认知上的大进步——认识到数量关系在宇宙中的重要性.而”万数皆数”观念的破灭,同样是一个错误.错误在于,认为数不足以表达万物了.错误又是由于一个大的进步引起的：发现了无理数.人们发现了无理数,又不敢承认它是数,这就是第一次数学危机.
正如数学家克莱因所说,非欧几何真正的诞生是”不需要任何技术性的数学推导而是需要认识到平行公理的正确性仅是基于经验,并非不证自明”：认识到”任何一组假设如果不导致矛盾的话,就一定提供一种可能的几何”；更要认识到”抽象的或
数学的空间是不同于感性认识的空间”.而要具备这些观念,首要的是否定”物质世界必然是欧几里德式的”,否定”欧几里德几何是唯一的与必然的”.自从非欧几何诞生之后,人们从传统的形而上学观念中解放出来了,重新开始对数学性质的理解,以及对数学和现实世界的关系的理解.认识到了区别数学抽象和感性直观的重要性,使人们对空间形式的认识从直观空间上升到抽象空间. §2量的鬼魂--第二次数学危机
十七世纪末,牛顿和莱布尼兹创立的微积分理论在实践中取得了成功的应用,但是当时的整个微积分是建立在极不严密的无穷小概念之上,没有一个坚实的基础.贝克莱主教曾猛烈攻击牛顿的微积分观点,他讽刺地挖苦到”无穷小”既不是0,也不是非0的数量,那么它一定是量的鬼魂.虽然贝克莱的哲学观点大都荒谬,但他的这次攻击还是切中要害的.牛顿和当时的数学家在逻辑上无法严格解释,数学家们相信它,只是因为它用起来十分有效,得出的结果总是对的.这就是数学史上的第二次危机.后来法国数学家柯西发展和建立了极限理论,从而解决了第二次危机.
同时从哲学上,这最终地驳斥了芝诺”飞矢不动”的诡论.在一瞬间,尽管物体占据了一个确定的位置,但不等于说静止了.因为我们能实实在在地求出它的瞬时速度来! §3罗素悖论引起的轩然大波--第三次数学危机
在历史既将跨入20世纪的时候,数学界出现了研究数学基础的高峰.人们把数学基础理论的无矛盾性,归结为集合论的无矛盾性,集合论已成为整个现代数学的逻辑基础,数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了.然而,事隔不到两年,英国着名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的,并不存在什么绝对的严密性!史称”罗素悖论”.1918年,罗素把这个悖论通俗化,成为理发师悖论.罗素悖论的发现,无异于晴天劈雳,把人们从美梦中惊醒.罗素悖论以及集合论
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