函数的定义域与值域知识点及题型总结
知识点精讲
一、函数的定义域
求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切y?tanx的定义域是xx?R,且x?kx????,k?Z?； 2?（6）已知f?x?的定义域求解f??g?x???的定义域，或已知f??g?x???的定义域求f?x?的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 二、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法： （1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
题型归纳及思路提示
题型1 函数定义域的求解 思路提示
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子f?x?有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式. 二、给出函数解析式求解定义域 例2.10 函数y?ln?x?1??x?3x?42的定义域为（ ）．
A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1]
分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解
x?1?0?解析 ?2, 得?1?x?1，故选C
?x?3x?4?0?变式1 函数y?xln?1?x? 的定义域为（）
A.(0，1) B[0，1） C.(0，1] D[0，1] 变式2求函数f?x??三、抽象函数定义域
已知f?x?的定义域求f??g?x???的定义域，或已知f??g?x???的定义域求f?x?的定义域，或已知
x?2?1log2?x?1? 的定义域.
f??h?x???的定义域. ?g?x???的定义域求f?解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同. 例2.11 （1）已知函数f?x?的定义域为（0，1）求fx2的定义域 （2）已知函数fx2的定义域为（2，4）求f?x?的定义域 （3）已知函数fx2的定义域为（1，2）求f?2x?1?的定义域.
分析 已知函数f?x?的定义域为D，求函数f??g?x???的定又域D'，只需D'?xg?x??D;已知函数
????????f??g?x??? 的定义域D',求函数了f?x?的定义域，只需D??tt?g?x?,t?D'?，即求g?x?的值域.
解析 （1）f?x?的定义域为（0，1），即0 2??义域为??1,0?U?0,1? (2) fx2的定义域为(2，4).即2 2??（3）因为fx2的定义域为（1，2）即1＜x＜2，所以1＜x＜4，故需1＜2x＋1＜4．所以0＜x＜故f?2x?1?的定义域为?0,? 评注 定义域是对自变量而言的，如fx2的定义域为（1，2）指的是x的范围而非x的范围. 变式1 已知函数f2x 的定义域是［0，1］，求f?2x?1?的定义域． 变式2设f?x??lg??23， 2??3?2???2??2?x，则2?x?x?f????2??2?f??的定义域为（） ?x?A(-4,0)U(0，4) B??4,?4?U?1,4? C. ??2,?1?U?1,2? D??4,?2?U?2,4? 三、实际问题中函数定义域的求解 例2.12 如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y＝f?x?，并写出其定义域. 分析 在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城. D C A 图 2-3 B 21?2x??x?x1?2x??x???x,于是AD??解析 由题意：CD?2x,CD，因此y?f?x??2x? ， 222化简即为y????42x2?x. 2x?0?1?1??又根据实际应有?1?2x??x,得0?x?，即所求函数的定义域为?0,? ??2?0??2????2评注 求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题 中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域 题型2 函数定义域的应用 思路提示 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论. 例2.13若函数f?x??2x2?2ax?a?1 的定义域为R，则实数a的取值范围为_____. x2?2ax?a分析 函数f?x?的定义域为R,即2解析 由题意知22x2?2ax?a?1 ≥0在R上恒成立，再利用指数函数的单调性求解 2?1≥0在R上恒成立,所以2x?2ax?a?1?20,即有x2?2ax?a?0恒成立,其等价于 △=4a?4a?0??1?a?0, 则实数a的取值范围为[―1,0] 变式1 若函数f?x??1的定义域是R，求则实数a的取值范围是（） ax2?4ax?33??? C.?aa?4??3??? D.?a0?a?4??3?? 4?A.aa?R B.?a0?a?????变式2 函数y?lgax2?ax?1 的定义域是R,求a的取值范围. ??变式3若函数y??a2?1?x2??a?1?x?2 的定义域为R，求实数a的取值范围. a?1题型3 函数值域的求解 思路提示 函数值域的求法主要有以下几种 (1)观察法:根据最基本函数值域（如x≥0,a?0及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域. （2）配方法：对于形如y?ax?bx?c?a?0?的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次 22x函数的定义城求出函数的值域. （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型. （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等. （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形y?ax?b?cx?d的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数. （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析. （7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如y?Ax?B ，ax2?bx?c或y?ax?bx?cdx?ex?f22的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值 范围必须为实数集R）. (8) 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如 y?ax?b?cx?d或y?ax?b?cx?d的函数，当ac>0时可利用单调性法. （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法. (10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域. 一 观察法 例 2.14 求函数y?x?1的值域. 分析 由观察法直接得到函数的值域. 解析 因为x?0，所以函数的值域为[1,??). 变式1 函数y?x(x?R)的值域是 . x?122变式2 函数y? 二 配方法 |x|(x?R)的值域是 . |x|?1例 2.15 求函数y?5?4x?x2的值域. 分析 对于根式中的二次函数，利用配方法求解. 解析 由5?4x?x2?0，得x?[?1,5]. 2y??(x2?4x?4)?9???x?2??9?[0,3]. 变式1 求函数f(x)?1的值域. 1?x(1?x)变式2 求f(x)?3?x?5?x的值域. 变式3 设函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的定义域为D，若所有点(s,f(t)),(s,t?D)构成一个正方 2形区域，则a的值为（ ）. A -2 B -4 C -8 D 不能确定 三 图像法（数形结合） 例 2.16 求函数y?x2?2x?2?x2?2x?2的值域. 分析 由函数表达式易联想到两点间距离公式，可将其转化为动点与两定点的距离之和. 解析 如图2-4所示，y?(x?1)2?1?2(x?1)2?1，所示动点P（x,1）到两定点A（-1,0）和B 2（1,0）的距离之和，作点B（1,0）关于直线y=1的对称点B(1,2)，连接 B1A交y=1于点P1（0,1）,此时AB1的长即为PA与PB的长之和的最小值，点P1（0,1）到A,B两点的距离之和为22，故函数的值域为[22,+∞﹚. ,B’ P(x,1) A’ B’ A O B A’’ 图2-4 P 评注 本题中也可看着动点P（x,0）与两定点A1(-1,1),B1(1,1)的距离之和，同理利用数形结合思想， '''|PA1|+|PB1|?|AB|?22，则|PA1|+|PB1|的最小值为22. 变式1 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 变式2 函数f(x)?sinx?1(0?x?2?)的值域是（ ）. 3?2cosx?2sinxA ????2?,0? B ??1,0? C ??2,0? D ??3,0? ????2?变式3 函数f(x)?1?x?22x?32的值域是（ ）. A ??6?213?21??6?216?21?,, B ?? ?5?5??5?5??6?21???2,? 5???6?21?,2? D C ?5??四 基本不等式法 x2?4x?5例2.17 已知x>2,求函数f(x)?的值域. 2x?4解析 令t?2x?4?(0,??),则x?2t?4， 2t?4?t?4?2?4??5??t1t?4t1t122?y??????2??1（当且仅当?，即t=2,x=3时取等号）.故函 4tt4t4t4t数f?x?的值域为[1,??).
函数的定义域与值域知识点及题型总结
