作PK⊥P1P2，垂足为K， 则在Rt△PP1K中，PK?则P1P2=2P1K=300。
即三段小路长度之和的最小值为300米。
三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）
13．已知整数a,b,c使等式(x＋a)(x＋b) ＋c(x－10)=(x－11)(x＋1)对任意的x均成立，求c的值。
解法1：展开题中等式：x2＋(a＋b＋c) x＋ab－10c=x2－10x－11。 上式对任意x均成立，所以有??a?b?c??10,………………4分
ab?10c??11.?PP122?503,PK?PP1?PK?150， 2消去参数c得10a＋10b ＋ab =－111， （a＋10）（b ＋10） =－11，…………12分 a,b是整数，－11（－1）×11＝1×（－11），所以a＋10的可能取值为1，－1，11，－11。相应的a的值为－9，－11， 1，－21。相应的b＋10的值为－11，11，－1，1，b的值为－21，1，－11，－9，相应a＋b之值为－30，－10。从而得相应的c的值为20或0…20分
解法2：因为等式(x＋a)(x＋b) ＋c(x－10)=(x－11)(x＋1)对任意的x均成立， 令x＝10，得（a＋10）（b ＋10） =－11，…………12分 以下同解法1。
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC,AD是∠BAC 的平分线。
求证：AB+2BD=5AC。
证法1：延长AC至E，使CE=4AC，在AE上截取AF=AB，连接BE，BF，延长AD交BF于点G。…4分
∵AF=AB，AG平分∠BAC ， ∴AG⊥BF，且BG=GF。又AC⊥BC， ∴∠ADC=90°－∠DAC=∠AFG，
∴∠ADB=180°－∠ADC=180°－∠AFG=∠BFE，…………8分 在△ABC和△BEC中，
CE4AC2BCBC，∠ACB=∠BCE=90°， ???CB2AC2ACAC- 6 -
BDCA∴△ABC∽△BEC，∠ABD=∠E，∵∠ADB=∠BFE，∠ABD=∠E， ∴△ABD∽△BEF， ∴
EFBE??2， BDABBEBC??2…………12分 ABACABGFDC∴EF=2BD，…………16分
∴AB+2BD=AF+FE=AE=AC+CE=5AC。…………20分 证法2：在Rt△ABC中， 解得BD?5?5AC。…………16分 25?5AC =5AC。…………20分 2E∴AB+2BD=5AC?2?证法3：在Rt△ABC中， ∵BC=2AC，
∴AB=AC2?BC2?AC2?4AC2?5AC。………4分 ∵AD平分∠BAC ，根据角平分线定理得∵AB=5AC， ∴
BD?5，
2AC?BD5?5AC。…………16分 25?5AC =5AC。…………20分 2ABBDBDBD…………12分 ???BCDCBC?BD2AC?BD解得BD?∴AB+2BD=5AC?2?
15．在数轴上把坐标为1，2，3，……，2006的点称为。一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，历经所有标点，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由。
解：设青蛙依次到达的点为x1，x2，……，x2006，x1=1。整个过程跳过的长度S=| x1－x2|+|
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x2－x3|+…+| x2006－x1|。………………4分
对于每一个点xi，进出各一次，所以xi在上式中出现2次。另一方面，上式中每一被加项| xi－xi+1|在展开时，大者取“+”号，小者取“-”号。所以整个式子在展开计算时，取“+”号之点和取“-”号之点各有2006个。
假定我们称为{1，2，…，1003}上半区，{1004，1005，…，2006}为下半区。如果使上半区各点在计算过程中两次均取“-”号，下半区各点两次均取“+”号，则有S≤2（1004+1005+2006）-2（1+2+…+1003）=2×10032。………………16分
事实上，只要每次跳动都是从上半区跳到下半区，或从下半区跳到上半区，则上半区各点将取，下半区各点将取“+”（显然这样的跳动方案有很多），这一过程所跳过的路径长度恰为2×10032，所以青蛙所跳过的全部路径的最大长度是2×10032。………………20分.
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2024年山东省初中数学竞赛试题及参考答案
