2018年山东省初中数学竞赛试题及参考答案

2018年全国初中数学竞赛山东赛区预赛暨 2018年山东省初中数学竞赛试题及参考答案

（2018年11月26日上午8∶30—11∶00）

一、选择题（本题共8小题，每小题6分，满分48分）：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内. 1．已知x2?4?2x?y?0,则x－y的值为 （ ）

A.2 B.6 C.2或－2 D.6或－6 解:因x2?4?0,2x?y?0,

?x?2或?2所以只能有x2?4?2x?y?0,分别解x2?4?0,2x?y?0,得?

y??2x.?从而,得x－y＝x－(－2 x) ＝3x,即x－y为6或－6.应选D.

2．一个样本为1，3，2，2，a，b，c。已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为 ( ) A.8 B.4 C.

84 D. 77解：已知样本平均数为2，得1+3+2+2+a+b+c=2×7=14，

所以a+b+c=6。又样本众数为3，知a、b、c三数中至少有两个3，则另一个为零， 从而知样本方差s2?1?1?1?0?0?1?1?4??8。应选C。 773．某商店出售甲、乙两种商品，售价都是1800元，其中甲商品能盈利20%，乙商品亏损20%，如果同时售出甲、乙商品各一件，那么（ ） A.共盈利150元 B.共亏损150元 C.不盈利也不亏损 D.以上答案都不对

解：根据题意，有甲商品进价为1800÷（1+20%）=1500 （元），乙商品进价为1800÷（1－20%）=2250（元）。

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图a 图b

所以商店盈利为1800×2－(1500+2250）=－150（元）。 即商店亏损150元。应选B。

4．桌面上摆着一些相同的小正方体木块，从正南方向看如图a，从正西方向看如图b，那么桌面上至少有这样的小正方体木块 （ ） A.20块 B. 16块 C. 10块 D. 6块 解：由已给视图可知至少有6块。

右图给出了由6块小正方体木块组成的满足条件的方案。应选D。 5．已知25?x2?15?x2?2，则25?x2?15?x2的值为 （ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

22解：因为（25?x2?15?x2）（25?x2?15?x2）=（25-x）-（15-x）=10，

yBP(1,4)OAx所以25?x2?15?x2=5. 应选C。

6．如图,CE,CF分别平分∠ACB和∠ACD,AE∥CF,AF∥CE,直线EF分别交AB,AC于点M,N.若BC=a,AC=b,AB=c,且c>a>b,则ME的长为（ ） A.

a?bc?ac?ba?b?c B. C. D. 2222解：∵CE,CF分别平分∠ACB和∠ACD, ∴∠ECA=

11∠ACB，∠ACF=∠ACD， 221（∠ACB+∠ACD）=90°，又AE∥CF,AF∥CE, 2∴∠ECF=∠ECA+∠ACF=∴四边形AECF，

1∴EN=CN=AC=b,且∠NEC=∠NCE。

2∵∠NCE=∠ECB， ∴∠NEC=∠ECB， ∴EN∥BC， ∴△AMN∽△ABC，

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AMEBCDNF11MNAN1??,MN?BC?a,

22BCAC2aba?b∴ME=MN-EN=??。应选B。

222∴

7．一次函数y=kx+b的图象过点且分别与x轴和y轴的正半轴交于点A，B。点O为坐标原点。当△AOB面积最小时，k,b的值为 （ ）

A.k=-4,b=8 B. k=-4,b=4 C. k=-2,b=4 D. k=-2,b=2 解：因点P（1，4）在一次函数y=kx+b的图象上，

y所以一次函数可表示为y=kx+（4-k）. 令x=0,得B（0，4-k），令y=0，得A（

1?2?Bk?4，0）， k16??。 k?OP(1,4)连结PO。S?BOA?S?BOP?S?POA=4??k?显然，k<0,令u=-k，v=?所以S?BOAAx16，则u>0,v>0,且uv=16。 k211?4??u?v?=4??u?v?2uv?≥4+uv=8（u>0,v>0）。

?22?????当且仅当u?v，即k=-u=-4时，上式取等号，S?BOA取最小值8。 此时b=4-（-4）=8。应选A。 8．若满足不等式

8n7??的整数k只有一个，则正整数n的最大值为 （ ） 15n?k1313n?k156k76n7n。 ??，则??，有?k?7n87n878A.100 B. 112 C. 120 D.150 解：由已知不等式得由已知，

6n8n与之间只有一个整数k， 777n6n所以??2。解得n≤112，当n=112时，96

87二、填空题（本提供4小题，每小题8分，满分32分）：将答案直接填在对应题中的横线上 9．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5。△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形 ，则四边形AEFD的面积为_________.

解法1：BD=BA，∠DBF=∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA=∠ABC，BF=BC， ∴△DBF≌△ABC。同理可证，△EFC≌△ABC。 ∴AD=AB=EF，DF=AC=AE。

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∴四边形AEFD是平行四边形。 在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5， ∴AB2+AC2=32+42=52=BC2。

∴∠BAC=90°，∠DAE=360°-90°-60°-60°=150°。

DFE∴∠ADF=∠AEF=30°，又DF=AC=4， ∴F到AD的距离为2，AD=AB=3，

BAC∴SAEFD?3?2?6。

解法2：把△DBF以B为中心，顺时针旋转60°，则点F，D分别与点C，A重合， 所以△DBF≌△ABC。同理可得，△EFC≌△ABC。

由AB=3，AC=4，BC=5，知△ABC为直角三角形，∠BAC=90°， 所以S?ABC?S?DBF?S?EFC?1?3?4?6， 2113393153253又S?ABD??3?，S?ACE??4?23?43，S?ABD??5?， ??2224224∴SAEFD?SDBCEF?S?ADB?S?ABC?S?ACE?S?DBF?S?BCF?S?EFC?S?ADB?S?ABC?S?ACE ?S?DBF?S?ABC?S?ABD?S?ACE?25393163?6???6。 44410.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足。BE=2AE。若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为

EAD_________.

解法1：分别延长BA，CD交于点P。

∠BCD的平分线CE垂直其对边BP，所以△BCP是等腰三角形。 因此有PE=BE=2AE，PA=AE，从而有PA∶PB=1∶4。 S。 16SS又S?ECP?S?PAD?SAECD，即?1?。

21616S1解得S?，S?PAD??，

716715所以S梯形ABCD?S?S?PAD?。

7BC设S?BCP?S，则S?PAD?PAEDBC- 4 -

解法2：同解法1，△BCP是等腰三角形，且PA：PB=1：4。 设x?S?PAD，则S?PBC?2S?PEC?2(1?x)， 所以有

PA2PB2?x11?，解得x?，

2(1?x)167从而有S梯形ABCD?1?(1?x)?15。 711．已知a+b+c=0, a2+b2+c2=4,那么a4+b4+c4的值等于_________.

解：由已知等式得a+b ＝－c，a2+b2＝4－c2。 又ab?1?a?b?2?a2?b2?1??c?2?4?c2?c2?2. 22????????从而有a4?b4?a2?b2所以a4+b4+c4＝8。

??2?2a2b2?4?c2???2?c22?2?2?8?c4，

12．公园内有两条河OM，ON在点O处汇合（如图），∠MON=60°。两河形成的半岛上有一处古迹P。现计划在两条小河各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路分别连结两座小桥Q，R和古迹P。若古迹P到两条小河的距离都是503米，则这三段小路之各的最小值为

OMP_________米.

解：如图，设点P关于OM和ON的对称点分别为P1，P2， 连结P1P2，分别交OM，ON于点Q，R。

由对称性知PQ=P1Q，PR=P2R，PQ+QR+RP=P1Q+QR+RP2=P1P2。 现在证明，PQ+QR+RP即所求的最小值。

在OM上任取一点Q′（不与Q重合），在ON上任取一点R′（不与R重合）， 连结P1Q?，Q?R?，R?P2，由对称性知PQ?=P1Q?，PR?=P2R?， 则PQ??Q?R??R?P?P1Q??Q?R??R?P2?P1P2 =PQ+QR+RP。所以PQ+QR+RP即所求的最小值。 由已知，在△PP1P2中，PP1?PP2?1003，

?P1PP2?120，?P1??P2?30。

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