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AF1???3?0?2??0?4??5，BF1?2?3?0?2??0?4??5，
2 若AF2?5?BF2?5， ?AF2?5?BF2?5，AF2?BF2，F2的轨迹是直线x?（0y??4）
若AF2?5??BF2?5，AF2?BF2?10?AB?6，F2的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
2a?10,a?5,2c?6,c?3,b?4, x2y2椭圆方程为??（1y??4）
2516x2y2F2的轨迹是直线x?（0y??4）或椭圆??（1y??4）
2516
例8 已知圆的方程为x2?y2?4，动抛物线过点A(?1,0)和B(1,0)，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F的轨迹方程
解：设焦点F?x，y?，准线l与圆相切于M，作AA1?l于A1，BB1?l于B1，
AF?BF?AA1?BB1?2OM?4，F的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
2a?4，2c?AB?2，a?2，c?1，b?3，x2y2F轨迹的方程是??1?y?0?
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Part 2 求动点轨迹的十类方法
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一、直接法
根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。过程是“建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理”，主要用于动点具有的几何条件比较明显时。
例1 已知动点M到定点A（1，0）与到定直线L：x=3的距离之和等于4，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
Y M N 解 设M（x,y）是轨迹上任意一点，作MN⊥L于N， 由 ｜MA｜＋｜MN｜＝4，得(x?1)2?y2?|x?3|?4 O 当x≧3时上式化简为 y2=－12(x-4) 当x≦3时上式化简为 y2=4x
所以点M的轨迹方程为 y2=－12(x-4) (3≦x≦4) 和y2=4x (0≦x≦3). 其轨迹是两条抛物线弧。
22例2 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x?y?1，动点M到圆C的切
A x 线长与MQ的比等于常数????0?，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，
MN则有 MQ??2，
2MO?ON即
MQx2?y2?1??，
(x?2)?y22??．
222222整理得(??1)x?(??1)y?4?x?(1?4?)?0，这就是动点M的轨迹方程．
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若??1，方程化为
x?
55(,0)4，它表示过点4和x轴垂直的一条直线；
22?221?3?22?2（x－2）?y?2(2,0)2??1(??1)若λ≠1，方程化为，它表示以??1为圆心，
1?3?2?2?1为半径的圆．
二、定义法
圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空题的形式出现． 例3 在相距离1400米的A、B两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？
解 因为炮弹爆炸点到A、B两哨所的距离差为3×340=1020米，若以A、B两点所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系，由双曲线的定义知炮弹爆炸点在
y2x2双曲线 ??1 上．
222510700?51022(x?2)?y?4外切且与直线x=2相切，例4 若动圆与圆则动圆圆心的轨迹方程
是_____________________
解 设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并
2y且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是??12(x?1)
2222例5 一动圆与两圆x?y?1和x?y?8x?12?0都外切，则动圆圆心轨迹为
（ ）
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（A）抛物线 （B）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆 解 设动圆圆心为M，半径为r，则有 MO?r?1,MC?r?2 所以MC?MO?1
动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）．
三、转移法（重中之重）
若轨迹点P（x ,y）依赖于某一已知曲线上的动点Q（x0, y0），则可先列出关于x、y, x0、y0的方程组，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0 代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程。一般用于两个或两个以上动点的情况。 例6 已知P是以F1、F2为焦点的双曲线轨迹方程。
解 设 重心G（x, y）, 点 P（x0, y0）， 因为F1（-5，0），F2（5，0）
?5?5?x0?x??x0?3x则有 , ?， 故代入 3??y?3y0?0?y0?0?y?3?x2y20?0?1 169x2y2??1上的动点，求169ΔF1F2P的重心G的
得所求轨迹方程
9x2?y2?1（y≠0） 162y 例7 已知抛物线?x?1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段
AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 解：设P(x,y),B(x1,y1)，
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由题设，P分线段AB的比
??AP?2PB，
∴
x?3?2x11?2y1,y?.1?21?2
3331x?,y1?y?2222.
解得
x1?2y又点B在抛物线?x?1上，其坐标适合抛物线方程，
3133(y?)2?(x?)?1.222∴ 2
整理得点P的轨迹方程为
121(y?)2?(x?),333
其轨迹为抛物线．
四、点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A（x1,y1），B（x2,y2）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1+x2, y1+y2, x1-x2, y1-y2 等关系式，由于弦AB的中点P（x, y）的坐标满足2x= x1+x2, 2y=
y?yy1+y2且直线AB的斜率为21，由此可求得弦AB的中点的轨迹方程。
x2?x1 例8 已知以P（2，2）为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。
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专题-解析几何中的动点轨迹问题
