. .
专题：解析几何中的动点轨迹问题
学大苏分教研中心 周坤
轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年各省高考中的常见题型之一。解答这类问题，需要善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系。本专题分成四个部分，首先从题目类型出发，总结常见的几类动点轨迹问题，并给出典型例题；其次从方法入手，总结若干技法（包含高考和竞赛要求，够你用的了...）；然后，精选若干练习题，并给出详细解析与答案，务必完全弄懂；最后，回顾高考，列出近几年高考中的动点轨迹原题。OK，不废话了，开始进入正题吧...
Part 1 几类动点轨迹问题
一、动线段定比分点的轨迹
例1 已知线段AB的长为5，并且它的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在段AB上，AP??PB(??0)，求点P的轨迹。 解：设P?x，y?，A?a，0?，B?0，b?，?x?????y???a???0?a??1???x1???，?1???y
0???b?b???1???代入a2?b2?25
?1???x2252x?2?1????22y2?25
y2?25?22?1
2?1????1??? word完美格式
. .
①当??1时，点P的轨迹是圆x2?y2?25 ；4②当??1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆;
③当0???1时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；
例2 已知定点A(3,1),动点B在圆Ox2?y2?4上,点P在线段AB上,且BP:PA=1:2,求点P的轨迹的方程.
解：设P?x，y?，B?x1，y1?，有AB??3BP
?3???3?x?x1?1???3?? ??y?1???3?y?11???3??3x?3?x???12 化简即：??y?3y?1??12代入x12?y12?4
?3x?3??3y?1?得??????4 ?2??2?1?16?所以点P的轨迹为?x?1???y???
3?9?2222
二、两条动直线的交点问题
例3 已知两点P（-1,3），Q（1,3）以及一条直线l:y?x，设长为2的线段AB在l上移动（点A在B的左下方），求直线PA、QB交点M的轨迹的方程 解：设M?x，y?，A?t，t?，B?t?1，t?1?， PM??x?1，y?3?，PA??t?1，t?3?， word完美格式
. .
QM??x?1，y?3?，QB??t?1?1，t?1?3?，?PM//PA，QM//QB，
???x?1??t?3???t?1??y?3? ??x?1t?2?ty?3????????3x?y?t??x?y?4? ? ?t?2x?2?x?y?2?3x?y2x?2?
x?y?4x?y?2?3x?y??x?y?2???x?y?4??2x?2?
y2?x2?8
x2y2例4 已知A1、A2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个顶点，线段MN为垂直于实轴
ab的弦，求直线MA1与NA2的交点P的轨迹
解：设P?x，y?，M?x1，y1?，N?x1，?y1?，A1??a，0?，A2?a，0?，??kA1P?kA1M ???kA2P?kA2Ny1?y??x?ax?a?1 ??y1?y???x?ax1?ay1?y1yy??? x?ax?ax1?ax1?ay12y2 ??2x2?a2x1?a2x12y12?2?1 a2b word完美格式
. .
y12x12x12?a2?2?2?1? baa2y12b2 ?x12?a2a2y2b2?2??2 x?a2aa2y2??b2x2?a2b2
x2y2当a?b?0时，是焦点在x轴上的椭圆,2?2?1?x?0?；
ab当a?b?0时，是圆x2?y2?a2；
x2y2当b?a?0时，是焦点在y轴上的椭圆,2?2?1?x?0?；
ab
三、动圆圆心轨迹问题
例5 已知动圆M与定圆x2?y2?16相切，并且与x轴也相切，求动圆圆心M的轨迹
解：设M?x，y?，?y?0?
当圆M与定圆内切时，x2?y2?4?y，当圆M与定圆内切时，x2?y2?4?y ?x2?y2?4?y
x2?y2?16?8y?y2
?8y?x2?16
M的轨迹是两条抛物线(挖去它们的交点) y?121x?2?y?0?或y??x2?2?y?0? 88
word完美格式
. .
例6 已知圆C1:(x?3)2?y2?4，C2:(x?3)2?y2?100，圆M与圆C1和圆C2都相切，求动圆圆心M的轨迹
解：C1??3,0?,C1?3,0?,C1C1?6,
设动圆M的半径为r,
?MC1?2?r?(1)若圆M与C1外切,与C2内切,则?,
??MC2?10?rMC1?MC2?12?C1C1,
M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，
2a?12，a?6，2c?6，c?3，b2?a2?c2?27， x2y2椭圆的方程为??1
3627(2)若圆M与C1、C2都内切,则
??MC1?r?2 ?MC?10?r?2?MC1?MC2?8?C1C1
M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆
2a?8，a?4，2c?6，c?3，b2?a2?c2?7， x2y2椭圆的方程为??1
167
四、动圆锥曲线中相关点的轨迹
例7 已知双曲线过A(?3,0)和B(3,0)，它的一个焦点是F1(0,?4)，求它的另一个焦点F2的轨迹
由双曲线定义AF2?AF1?BF2?BF1，解：设F2?x，y?， word完美格式
专题-解析几何中的动点轨迹问题
