问题拓展：
解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4： 则EG=AG= ，PH=FH，
∴AE=5，
在Rt△ABE中，BE= =3， ∴CE=BC-BE=1， ∵∠B=∠ECQ=90°，∠AEB=∠QEC， ∴△ABE∽△QCE， ∴ = =3， ∴QE= AE= ， ∴AQ=AE+QE= ， ∵AG⊥MN，
=∠B， ∴∠AGM=90°
∵∠MAG=∠EAB， ∴△AGM∽△ABE， ∴ = ，即
=，
解得：AM= ，
由折叠的性质得：AB'=EB=3，∠B'=∠B=90°，∠C'=∠BCD=90°， ∴B'M= ′ = ，AC'=1， ∵∠BAD=90°， ∴∠B'AM=∠C'FA， ∴△AFC'∽△MAB'， ∴ =
′ ′
= ，
解得：AF= ， ∴DF=4- = ， ∵AG⊥MN，FH⊥MN， ∴AG∥FH， ∴AQ∥FP，
∴△DFP∽△DAQ，
∴ = ，即 = ，
解得：FP= ， ∴FH= FP= ． 【解析】
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问题情境：过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，证出四边形MBFN为平行四边形，得出NF=MB，证明△ABE≌△BCF得出BE=CF，即可得出结论； 问题探究：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，证出△DHQ是等腰直角三角形，HD=HQ，AH=QI，证明Rt△AHQ≌Rt△QIE得出，即可∠AQH=∠QEI，得出△AQE是等腰直角三角形，得出∠EAQ=∠AEQ=45°得出结论；
（2）连接AC交BD于点O，则△APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，由等腰直角三角形的性质得出∠ODA=∠ADO′=45°，当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC，证明△APB≌△CPB得出∠BAP=∠BCP，证明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG=NH，GN=P'H，由正方形的性质得出∠PDG=45°，易得出PG=GD，得出GN=DH，DH=P'H，得出∠P'DH=45°，故∠P'DA=45°，点P'在线段DO'上运动；过点S作SK⊥DO'，垂足为K，即可得出结果；
问题拓展：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，则EG=AG=，PH=FH，得出AE=5，由勾股定理得出BE=
=3，得出
，证
CE=BC-BE=1，证明△ABE∽△QCE，得出QE=AE=，AQ=AE+QE=明△AGM∽△ABE，得出AM=，求出B'M=∠C'=∠BCD=90°得出AF=．
，DF=4-
，由折叠的性质得：AB'=EB=3，∠B'=∠B=90°，
=，AC'=1，证明△AFC'∽△MAB'，
=，证明△DFP∽△DAQ，得出FP=，得出FH=FP=
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判
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定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
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2019年江苏省连云港市中考数学试卷(答案解析版)
