高中数学选修2-1学案
2.3.1 双曲线及其标准方程
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1. 掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导。 2. 能根据条件确定双曲线的标准方程。
3. 掌握用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程。
【预习导学】
?基础梳理
1．平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|且大于0)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
?思考：在双曲线的定义中，为什么常数要大于0且小于|F1F2|? [答案][答案]略．
2．双曲线的标准方程．
x2y2
(1)焦点在x轴上，方程为2－2＝1，焦点坐标为(±c，0)．
aba，b，c的关系：a＞0，b＞0，c2＝a2＋b2．
y2x2
(2)焦点在y轴上，方程为2－2＝1，焦点坐标：(0，±c)．
aba，b，c的关系：a＞0，b＞0，c2＝a2＋b2．
?思考：椭圆的标准方程和双曲线的标准方程有什么区别与联系？ [答案][答案]略． ?自测自评
1．双曲线－＝1的焦距是()
102A．32 B．42 C．33D．43
2．双曲线－＝1的焦点坐标是．
32
3．已知双曲线－＝1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点
916
的距离为．
?随堂巩固
1．到两定点F1(－3，0)、F2(3，0)的距离之差的绝对值等于5的点M的轨迹为() A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线
2．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()
43A.－x＝1 B．x－＝1 33C.－＝1 D.－＝1 4334
－＝1的焦点在y轴上，则m的取值范围是________．
m2－4m＋1
c522
4．在双曲线中，＝，且双曲线与椭圆4x＋9y＝36有公共焦点，求双曲线的方程．
a23．双曲线
1
x2y2
x2y2
x2y2
x2y2
y2
22
y2
x2y2x2y2
x2y2
高中数学选修2-1学案
5．设双曲线－＝1，F1，F2是两个焦点，点M在双曲线上，若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2
49
的面积．
?课时训练
1．过点(1，1)且＝2的双曲线的标准方程为() A.－y＝1 12B.－x＝1 12C．x－＝1
12
D.－y＝1或－x＝1 1122
2
x2y2
bax2
2
y2
2
y2
x2
2
y2
2
x2y2
2．双曲线－＝1的焦距为10，则实数m的值为()
9m
A．－16 B．4 C．16 D．81
3．在平面内，已知双曲线C：－＝1的焦点F1，F2，则“|PF1|－|PF2|＝6”是“点
916
P在双曲线C上”的()
A．充要条件
B．充分不必要条件 C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
22
4．若ax＋by＝b(ab＜0)，则这个曲线是() A．双曲线，焦点在x轴上 B．双曲线，焦点在y轴上 C．椭圆，焦点在x轴上 D．椭圆，焦点在y轴上
x2y2
x2y2
5．双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)，过焦点F1的直线交在双曲线的一支上的弦长AB为m，
ab另一焦点为F2，则△ABF2的周长为()
A．4aB．4a－m
C．4a＋2mD．4a－2m
x2y2
6．已知双曲线－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线
6
3
F2M的距离为()
2
高中数学选修2-1学案
3656A. B. 5665C.D. 56
7．双曲线－＝1的焦距为________．
102
22
8．若双曲线2x－y＝k的焦距是6，则k的值为________________________________________________________________________． 9．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长
916
的2倍，A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
2222
10．求与圆A：(x＋5)＋y＝49和圆B：(x－5)＋y＝1都外切的圆的圆心P的轨迹方程．
11．求过点M(3，－1) 且被点M平分的双曲线－y＝1的弦所在的直线方程．
4
?体验高考
1．若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的()
165－k16－k5
A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
2．已知双曲线C：－＝1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|916＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于() A．24 B．36
3
x2
y2
x2y2
x2
2
x2y2x2y2
x2y2
高中数学选修2-1学案 C．48 D．96
3．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋
412
x2
y2
|PA|的最小值为________．
4．已知双曲线x－y＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
2
2
4
高中数学选修2-1学案
答 案
?自测自评 1．[答案] D
2
[解析]c＝10＋2＝12，∴c＝23，焦距2c＝43. 2．[答案] (±5，0)．
2222
[解析]由双曲线方程知x的系数为正，所以焦点在x轴上．又c＝a＋b＝3＋2＝5. 3．[答案]9
[解析]∵a＝3，设双曲线的两个焦点为F1，F2， ∵|PF1|＝3，∴P在靠近F1的一支上． ∵|PF2|＝|PF1|＋2a＝3＋6＝9. ∴P到另一个焦点的距离为9. ?随堂巩固 1．[答案]C 2．[答案]B
2??m－4＜0，
3．[解析]由题可知?∴－2＜m＜－1.
?m＋1＜0，?
[答案](－2，－1)
4．[答案]解：把椭圆的方程写成标准方程＋＝1，
94∴椭圆的焦点坐标是(±5，0)． ∵双曲线与椭圆有相同的焦点，
∴双曲线的焦点在x轴上，且c＝5. c5222
∵＝，∴a＝2，∴b＝c－a＝1， a2
∴双曲线的方程为－y＝1.
4
222
5．[答案]解：由题意知a＝4，b＝9，∴c＝13. 设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，
则由双曲线定义知|r1－r2|＝2a＝4，
222
∴(r1－r2)＝r1＋r2－2r1r2＝16.① 又∵∠F1MF2＝90°， 2222
∴r1＋r2＝|F1F2|＝4c＝52.② ∴由①②得r1r2＝18.
1
∴S△F1MF2＝r1r2＝9.
2
?课时训练 1．[答案]D
2．[答案]C 3．[答案]B
[解析]由已知若点P在双曲线C上，则有||PF1|－|PF2||＝6，∴“|PF1|－|PF2|＝6”是“点P在双曲线C上”的充分不必要条件．
4．[答案]B
x2y2
x2
2
x22
[解析]原方程可化为＋y＝1，因为ab＜0，
ba 5
高中数学选修2-1优质学案3：2.3.1 双曲线及其标准方程
