2019年暑季课程苏教版高三数学 第6讲:《函数的奇偶性与周期性》教案
一、教学目标
1、了解函数奇偶性、周期性的含义。 2、会判断奇偶性,会求函数的周期、
3、会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题、
二、知识梳理
1。函数奇偶性的定义
设函数y＝f(x)的定义域为A、假如关于任意的x∈A,都有__＿_＿____＿,则称f(x)为奇函数;假如关于任意的ｘ∈Ａ都有＿＿＿_＿＿_＿__,则称f(ｘ)为偶函数、
2、奇偶函数的性质
(1)f(x)为奇函数?f(－x)＝—ｆ(x)?f(-x)+ｆ(ｘ)＝___＿; f(x)为偶函数?f(x)＝ｆ(－x)=f(｜x｜)?f(x)—f(－x)=_＿__。
(2)f(x)是偶函数?ｆ(x)的图象关于___＿轴对称;ｆ(x)是奇函数?f(x)的图象关于＿＿____对称、 (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有____＿＿的单调性、 3。函数的周期性
(1)定义:假如存在一个非零常数Ｔ,使得关于函数定义域内的任意x,都有f(x+T )＝＿____＿,则称f(ｘ)为＿_____函数,其中T称作f(x)的周期、若T存在一个最小的正数,则称它为f(x)的＿＿__＿___、
T
(2)性质: ①f(x+T )=ｆ(x)常常写作f(x＋)＝ｆ(x－＼f(T,2))。
2
②假如Ｔ是函数ｙ=f(x)的周期,则kT(k∈Z且ｋ≠0)也是ｙ=f(x)的周期,即f(x+kT )＝f(x)、
１
③若关于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)=-f(ｘ)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－
f?ｘ?错误!(a是常数且a≠0),则f(ｘ)是以___＿__为一个周期的周期函数、
三、题型突破
题型一 函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性、 (1); (2); (３) ; (4)
变式迁移1 判断下列函数的奇偶性、 (1) ; (2) ; (3) 、
题型二 函数单调性与奇偶性的综合应用
例2 已知偶函数在区间上单调递增,则满足的的取值范围是___＿_＿__、
变式迁移2 已知函数,对任意的,恒成立,则的取值范围为＿＿_＿____、 题型三 函数性质的综合应用
例３ 已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间［0,2]上是增函数,若方程,在区间［－8,8］上有四个不同的根,则＝________、
四、针对训练
(满分:９0分)
一、填空题(每小题6分,共4８分)
１。已知是定义在上的偶函数,那么的值为_____＿＿_。
2、已知定义域为的函数为偶函数,且在区间上是增函数,若,则的解集为____________＿＿＿_。 3、已知是定义在R上的偶函数,并满足,当1≤≤2时,,则= ＿____＿＿＿。 4。设为定义在Ｒ上的奇函数、当时, (b为常数),则＝______＿_、
5、设函数满足:①是偶函数;②在［１,+∞)上为增函数,则与大小关系为_＿_________＿＿_＿___＿＿、 6、设定义在Ｒ上的函数满足,若,则 、
７、设函数是定义在Ｒ上的奇函数,若满足,且,,则的取值范围为＿__＿_＿＿___＿_＿__＿、 8、函数在区间上的最大值与最小值之与是 、 二、解答题(共4２分)
9、(1４分)已知是定义在[-6,6］上的奇函数,且在［０,3]上是ｘ的一次式,在［3,6］上是x的二次式,且当３≤x≤６时,≤=3,＝2,求的表达式、
1０、(1４分)设函数, (1)证明是偶函数; (2)画出这个函数的图象;
(3)指出函数的单调区间,并说明在各个单调区间上是增函数依然减函数; (4)求函数的值域。
11。(14分)已知函数 (x≠0,常数a∈R)、 (1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(２)若函数在[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围、
五、参考答案 二、知识梳理
１、f(—x)＝－ｆ(x) ｆ(－x)＝f(ｘ) 2、(1)0 0 (2)y 原点 (３)相反 ３。(1)f(x) 周期 最小正周期
(2)③２a
三、题型突破
例１ 解题导引 判断函数奇偶性的方法、
(１)定义法:用函数奇偶性的定义判断。(先看定义域是否关于原点对称)、
(2)图象法:f(x)的图象关于原点对称,则f(x)为奇函数;f(ｘ)的图象关于ｙ轴对称,则f(x)为偶函数、 (３)基本函数法:把ｆ(x)变形为g(x)与h(x)的与、差、积、商的形式,通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性。
解 (1)定义域要求错误!≥0且x≠-1,
∴-１ (2)函数定义域为(-∞,０)∪(０,＋∞)、 ∵f(－x)＝—x(＼f(1,2x－1)＋＼ｆ(1,2)) 2x2x ＝－x(+＼f(1,2))=ｘ(x—＼f(1,2)) 2—1１—２x＝x(错误!+错误!)＝f(x)、 ∴f(x)是偶函数、 (3)函数定义域为R。 ∵f(-x)＝lｏg2(—x+ｘ2＋１) ＝lｏg2＼ｆ(１,x+ｘ2+1)=－ｌoｇ2(ｘ＋＼ｒ(x2+1))＝—ｆ(ｘ), ∴f(x)是奇函数。 (４)函数的定义域为(—∞,０)∪(0,＋∞)、 当x＜0时,-x〉0,则 － ｆ(－x)＝—(－x)２-x＝-(x2＋x)=－f(x); 当ｘ〉0时,—x<0,则 f(－x)＝(-x)2-ｘ＝x2—x＝－(－x2+x)=－f(ｘ)、 ∴对任意x∈(－∞,0)∪(０,＋∞)都有ｆ(－x)=－f(x)、 故ｆ(x)为奇函数、 变式迁移1 解 (1)由于ｆ(—１)＝２,f(1)=０,f(－1)≠f(1),f(-1)≠－f(1),从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 (2)ｆ(x)的定义域为｛－1,1},关于原点对称,又f(—1)＝ｆ(1)＝0,f(－1)＝－f(1)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数、 (3)由错误!得,f(x)定义域为［－2,0)∪(0,２］、 ∴定义域关于原点对称, 又f(x)=错误!,f(—ｘ)=－错误!, ∴f(—x)=-f(x),∴f(ｘ)为奇函数、 例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式、解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式\为“具体的代数不等式”、 在关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反、 解 偶函数满足ｆ(x)＝f(|x｜),依照这个结论,有ｆ(2x—1)〈 f 错误! ? f(|2x－1|)＜f 错误!, 1 进而转化为不等式|2ｘ－1｜<, ３ 解这个不等式即得ｘ的取值范围是错误!、 变式迁移2 (－２,错误!) 解析 易知f(ｘ)在R上为单调递增函数,且f(ｘ)为奇函数,故ｆ(ｍx—2)+f(x)＜0,等价于f(mx－2)〈－ｆ(x)＝f(－x),此时应用mx—2＜－x,即mｘ＋x－2〈0对所有m∈［—２,２]恒成立,令h(m)=ｍx＋x—2, 此时,只需错误!即可,解得x∈(－2,错误!)。
第6讲模块复习：函数的奇偶性与周期性教案
