官方【 AG3668、COM 】
数 学 试 题
2001.5
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.
参考公式：
三角函数的和差化积公式
ｓｉｎθ＋ｓｉｎφ＝２ｓｉｎｓｉｎθ－ｓｉｎφ＝２cos
???2sincos2???2
???2???cos??cos?＝２cos???22cos???22
cos??cos?＝－２sin???sin???正棱台、圆台的侧面积公式
S台侧?1(c??c)l 2其中ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长，ｌ表示斜高或母线长. 台体的体积公式
Ｖ台体＝(S??S?S?S)h
其中S′、S分别表示上、下底面的面积，ｈ表示高.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若ｆ（ｘ）＝ａｘ（ａ＞０，ａ≠１）的定义域为M，ｇ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０，ａ≠１）的定义域为N，令全集I＝Ｒ，则M∩N＝
A.M B.N C.M D.N
2.已知数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，２ａｎ＋１＝ａｎ（ｎ＝１，２，３，……），则这个数列前ｎ项和的极限是
A.2 B.
1311 C.3 D. 233.已知函数ｆ（ｘ）＝３ｘ－１，则它的反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）的图象是
4.如图，圆柱的高为8，点A和点B分别在上下底面的圆周上，且ＡＢ＝１0，则直线AB与圆柱的轴OO′所成角的大小或正切值为
4433 B.arctg或 33444433C.arctg或 D.arctg或
5555?5.函数ｙ＝２ｓｉｎ（３ｘ－）图象的两条相邻对称轴之
4A.arctg或间的距离是 A.
2?4?? B. C.? D.
333?6.(理)过点P(１，)且平行于极轴的直线的极坐标方程是
4A.ρｓｉｎθ＝
2 B.ρｓｉｎθ＝１ 22sin? 2C.ρ＝－ｓｉｎθ D.ρ＝
(文)点(－２，３)关于直线ｙ＝ｘ＋１对称的点的坐标是 A.（２，－１） B.（３，０） C.（３，－１） D.（２，０） 7.圆台的侧面展开图是一个内外半径分别为3和6，中心角为
4?的扇环，则此圆台的全3面积是
A.３６π B.３８π C.４８π D.５４π
8.定义在（－∞,＋∞）上的函数ｙ＝ｆ（ｘ）在(－∞,２)上是增函数，且函数ｙ＝ ｆ（ｘ＋２）图象的对称轴是ｘ＝０，则
A.ｆ（－１）＜ｆ（３） B.ｆ（０）＞ｆ（３） C.ｆ（－１）＝ｆ（－３） D.ｆ（２）＜ｆ（３）
9.若圆（ｘ－１）２＋（ｙ＋１）２＝Ｒ２上有且仅有两个点到直线４ｘ＋３ｙ＝１１的距离等于1，则半径R的取值范围是
A.Ｒ＞１ B.Ｒ＜３ C.１＜Ｒ＜３ D.Ｒ≠２
10.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花
A.3360元 B.6720元 C.4320元 D.8640元
11.图中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的点A作截面AB１C１D１而截得的，且B１B＝Ｄ１Ｄ.已知截面AB１C１D
的二面角，ＡＢ＝１，则这个多面体的１与底面ABCD成30°
体积为
A.
6666 B. C. D. 2346x2y212.(理)已知双曲线2?2?1（ａ＞０，ｂ＞０）的
ab离心率ｅ∈［θ的取值范围是
A. [2,２］，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为θ，则
??62,] B. [??32,] C. [?2?2,3] D.[2?3,?]
x2y2(文)已知双曲线2?2?1（ａ＞０，ｂ＞０）的离心率ｅ∈［2，２］，则双曲
ab线一条渐近线与实轴所成锐角θ的取值范围是
A. [??42,) B. [??64,] C. [??43,] D.[??,]
63第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上) 13.若（x?2n)展开式中的第5项为常数，则ｎ＝ . x3?1?，ｔｇ（β－)?,则ｔｇ（α＋）的值是 ． 533314.抛物线ｘ＝２（ｙ－１）２－５的准线方程是 . 15.已知ｔｇ（α＋β）＝
16.已知如图，正方体ABCD—A１B１C１D１，过点A作截面
，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截面 ．(注：只需任意写出一个.)
三、解答题(本大题共6小题，共计74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分12分)
(理)已知ａ＞０，ａ≠１，ｆ（ｘ）＝ｌｏｇａ（ｘ＋１），
ｇ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ２，求使ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＞ｌｏｇａ２成立的自变量ｘ的取值范围
.
(文)解关于ｘ的不等式：
ｌｏｇａ（ｘ＋１）－ｌｏｇａｘ２＞ｌｏｇａ２（ａ＞０，ａ≠１）. 18.(本小题满分12分)
已知：复数ｚ１＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα，ｚ２＝ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ，ｚ１＋ｚ２＝
43?i，求ｔｇ（α＋β）的值. 5519.(本小题满分12分)
已知如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD∶ＤＣ∶ＢＣ＝１∶１∶2
(Ⅰ)求PB与平面PDC所成角的大小； (Ⅱ)求二面角D—PB—C的正切值； (Ⅲ)(理)若AD＝(文)若AD＝
1ＢＣ，求证平面PAB⊥平面PBC. 21ＢＣ，E为PC中点，求证DE∥平面PAB. 22)，Ｆ２（０，２
2），离心率ｅ＝
20.(本小题满分12分)
(理)已知椭圆的两个焦点分别为F１(０，－２
22. 3(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)一条不与坐标轴平行的直线ｌ与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN中点的横坐标为－
1，求直线ｌ倾斜角的取值范围. 22(y?1)(文)把椭圆（ｘ－１）２＋＝１绕它的中心旋转90°后，再沿ｘ轴方向平行移动
2，使变换后的椭圆截直线ｙ＝
2x所得的线段长为3，试写出交换后的椭圆方程. 221.(本小题满分12分)
用洗衣机洗衣时，洗涤并甩干后进入漂洗阶段.漂洗阶段由多次漂洗和甩干组成，每次漂洗后可使残留物均匀分布，每次甩干后(包括洗涤后的甩干)衣物中的残留水份(含有残留物)的重量相同，设计时，将漂洗的总用水量定为a千克，漂洗并甩干的次数定为3次.为使漂洗后衣物中的残留物最少，怎样确定每次漂洗的用水量?并写出你的数学依据.
【注：为了便于解决问题，可参考以下各量的字母表示.设每次甩干后衣物中的残留水份(含有残留物)的重量为m，洗涤并甩干后衣物中的残留物(不含水份)为ｎ０，三次漂洗并甩干后衣物中的残留物(不含水份)分别为ｎ１，ｎ２，ｎ３，三次用水量分别为ａ１，ａ２，ａ３.(以上各量单位皆为千克)】
22.(本小题满分14分)
(理)数列｛ａｎ｝中，前ｎ项和Sｎ＝ａｎ２＋ｂｎ，其中ａ，ｂ是常数，且ａ＞０，ａ＋ｂ＞１，ｎ∈Ｎ.
(Ⅰ)求｛ａｎ｝的通项公式ａｎ，并证明ａｎ＋１＞ａｎ＞１（ｎ∈Ｎ）；
(Ⅱ)令ｃｎ＝loganan?1，试判断数列｛ｃｎ｝中任意相邻两项的大小.
(文)已知数列｛ａｎ｝是等差数列，ａ１＝１，前ｎ项和为Sｎ；数列｛ｂｎ｝是等比数列，前ｎ项和为Tｎ，若ａ４＝ｂ２，Ｓ６＝２Ｔ２－１，limTn＝８．
n??(Ⅰ)求｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝的通项公式；
(Ⅱ)判断是否存在最小的自然数ｎ０，使得大于ｎ０的一切自然数ｎ，总有成立，并给出你的证明.
nbn1?3an?2n
沙巴体育乓北京市东城区第一次数学模拟考试 doc
