和
vB?vC=vC?vD
（4）
（5）
解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得两个解
vC=0
vC?4Mv0
5M?6m（6）
因为vC也是刚碰撞后由B、C、D三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去．取（6）式时可解得刚碰撞后A、B、D三球的速度
2．讨论碰撞后各小球的运动
碰撞后，由于B、C、D三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C将以（6）式的速度即vC?5M?6mv0
5M?6m10MvB?v0
5M?6m2MvD??v0
5M?6mvA?（7） （8） （9）
4M、（8）、（9）式可知，碰v0沿v0方向作匀速运动．由（4）
5M?6mvB?vC6Mv0 ?l5M?6ml撞后，B、D两小球将绕小球C作匀角速度转动，角速度的大小为
??（10）
方向为逆时针方向．由（7）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向与M、m的大小有关，下面就M、m取值不同而导致运动情形的不同进行讨论：
（i）vA=0，即碰撞后小球A停住，由（7）式可知发生这种运动的条件是 即
5M?6m?0
（11）
M6? m5（ii）vA<0，即碰撞后小球A反方向运动，根据（7）式，发生这种运动的条件是
M6? m5（12）
（iii）vA>0但vA?vC，即碰撞后小球A 沿v0方向作匀速直线运动，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知发生这种运动的条件是 即
5M?6m?0和4M?5M?6m
（13）
6m?M?6m 5（iv）vA?vC，即碰撞后小球A仍沿v0方向运动，且其速度大于小球C的速度，发生这种
运动的条件是 的条件是
M?6m
（v）vA?vC，即碰撞后小球A 和小球C以相同的速度一起沿v0方向运动，发生这种运动
（14）
M?6m （15）
在这种情形下，由于小球B、D绕小球C作圆周运动，当细杆转过180o时，小球D 将从小球A的后面与小球A相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A继续沿v0方向运动．根据质心运动定理，C球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时间间隔是
t?π???5M?6m?πl6Mv0?πl v0（16）
从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走过的路程
d?vCt?2πl 3（17）
3．求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度
刚要发生第二次碰撞时，细杆已转过180o，这时，小球B的速度为vD，小球D的速度为vB．在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守恒．设第二次刚碰撞后小球A、
???并假定它们的方向都与v0的方向相同．B、C、D的速度分别为v?注意到（1）、A、vB、vC和vD，
（2）、（3）式可得
由杆的刚性条件有
??3mvC? Mv0?MvA??2mlvB? 0?mlvC（18） （19）
（20）
1111122?2+mvB?2?mvC?2?mv?Mv0?MvAD
22222??? v?D?vC?vC?vB
（21）
（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次碰撞时与D球重合的空间点．
把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了小球B 和D互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解
??0 vC和
（22） （23）
??vC4Mv0
5M?6m对于由B、C、D 三小球组成的系统，在受到A球的作用后，其质心的速度不可能保持不变，而（23）式是第二次碰撞未发生时质心的速度，不合理，应该舍去．取（22）式时，可解得
v?A?v0 v?B?0
（24） （25）
v?D?0
（26）
（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度v0作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和小球B、C、D则处于静止状态，即恢复到第一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离d?2πl，而且小球D和B换了位置． 3
评分标准：
本题25分．
三、参考解答：
由
p pV??k， ??1 （1）
B 可知，当V增大时，p将随之减小（当V减小时，p将随之增大），在p?V图上所对应的曲线（过状态A）大致如图所示．在曲线上取体积与状态B的体积相同的状态C．
现在设想气体从状态A出发，保持叶片不动，而令活塞缓慢地向右移动，使气体膨胀，由状态A到达状态C，在此过程中，外界对气体做功
0 C V
A W?k?11?? ???1???1?VC??1VA?（2）
用UA、UC分别表示气体处于状态A、C时的内能，因为是绝热过程，所以内能的增量等于外界对气体做的功，即
UC?UA?k?11?? ???1???1?VC??1VA?（3）
再设想气体处于状态C时，保持其体积不变，即保持活塞不动，令叶片以角速度??做匀速转动，这样叶片就要克服气体阻力而做功，因为缸壁及活塞都是绝热的，题设缸内其它物体热容量不计，活塞又不动（即活塞不做功），所以此功完全用来增加气体的内能．因为气体体积不变，所以它的温度和压强都会升高，最后令它到达状态B．在这过程中叶片转动的时间用?t表示，则在气体的状态从C到B的过程中，叶片克服气体阻力做功
W??L??t （4）
令UB表示气体处于状态B时的内能，由热力学第一定律得
由题知
UB?UC?L??t
（5）
?p??1?L?? （6）
?tV由（4）、（5）、（6）式得
UVBB?UC???1?pB?pC? （7）式加（3）式，得
UB?U??1?pk?1A?VBB?pC????1??1??V??1??1? CVA?利用pV??k和VC?VB得
UB?UA?1??1?pBVB?pAVA? 评分标准：
本题23分．
四、参考解答：
答案：uD如图1所示，uB如图2 所示． uD U t 0 T 2T －U 图1 uB U 7）
8）
9）
（（（
．
附参考解法：
二极管可以处在导通和截止两种不同的状态.不管D1和D2处在什么状态，若在时刻t，A点的电压为uA，D点的电压为uD，B点的电压为uB，电容器C1两极板间的电压为uC1，电容器C2两极板间的电压为uC2，则有
uD?uA?uC1
uB?uC2
uq1C1?uA?uD?C
uC2?uqB?uG?2C
式中q1为C1与A点连接的极板上的电荷量，q2为C2与B点连接的极板上的电荷量.
若二极管D1截止，D2导通，则称电路处在状态I. 当电路处在状态I时有
uD?uB uD?0
若二极管D1和D2都截止，则称电路处在状态II. 当电路处在状态II时有
uD?uB uD?0
若二极管D1导通，D2截止，则称电路处在状态III.当电路处在状态III时有
uD?uB uD?0
电路处在不同状态时的等效电路如图3所示.
1）2）3）4）5）6）7）（ （ （ （
（
（
（
第23届全国中学生物理竞赛复赛试卷
