欧阳科创编 2024.02.05
点到直线的距离公式的七种推导方法
时间：2024.02.05 创作：欧阳科 已知点 P(x0,y0)直线l:Ax?By?C?0(A?0,B?0)求点P到直线 l的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法
证：根据定义，点P到直线 l的距离是点P到直线 l的垂线段的长，如图1，
设点P到直线l的垂线为 l，垂足为Q，由 l'?l可知 l'的斜率y'Pll'xB为 A
y?y0?B(x?x0)A与l联立方程组
Q图1?l'的方程：
B2x0?ABy0?ACA2y0?ABx0?BCQ(,)2222A?BA?B解得交点
二、 函数法
证：点P到直线 l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离。在l上取任意点 Q(x,y)用两点的距离公式有，为了利用条件Ax?By?C?0上式变形一下，配凑系数处理得： 当且仅当
A(y?y0)?B（x?x0）时取等号所以最小值就是
欧阳科创编 2024.02.05
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|Ax0?By0?C|A2?B2
d?三、不等式法
证：点P到直线 l上任意一点Q(x,y)的距离的最小值就是点P
到直线
l的距离。由柯西不等式：
(A2?B2)[(x?x0)2?(y?y0)2]?[A(x?x0)?B(y?y0)]2?(Ax0?By0?C)2当且仅当
d?A2?B2A(y?y0)?B（x?x0）时取等号所以最小值就是
|Ax0?By0?C| yPM四、转化法
证：设直线 l的倾斜角为 ?过点P作PM∥ y轴交l于M (x1,y1)显然x1?x0所以
y1??lQxlyQPMx图2图3Ax0?CAx?CAx?By0?C?|PM|?|y0?0|?|0|bBB
易得∠MPQ＝ ?（图2）或∠MPQ＝1800??（图3） 在两种情况下都有
cos?MPQ?11?tan2??|B|A2?B2 A2tan?MPQ?tan??2B22所以
五、三角形法
证：P作PM∥ y轴交l于M，过点P作PN∥ x轴交l于N（图4） 由解法三知
|PM|?|Ax0?By0?CAx?By0?C||PN|?|0|BA；同理得
yPMNQxl图4在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高 六、参数方程法
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?x?x0?tcos?l:?P(x,y)证：过点00作直线 ?y?y0?tsin?交直线l于点
'Q。(如图
1)
由直线参数方程的几何意义知|t|?|PQ|，将 l'代入 l得
Ax0?Atcos??By0?Btsin??C?0
整理后得
|t|?|Ax0?By0?C|...........(1)?Acos??Bsin?
当 l'?l时，我们讨论 ?与 l的倾斜角?的关系： 当 ?为锐角时 （2）
当 ?为钝角时 （3）
得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得
|t|?||Ax0?By0?C||Ax0?By0?C|?22A2B2A?B?|2222A?BA?B
tan???A?0,不妨令A>0,B>00B）有????90tan???A?0,不妨令A>0,B<00B）有??90??（图
（图
yPQln x图五 七、向量法
证：如图五，设直线l:Ax?By?C?0(A?0,B?0)的一
Bn?(1,)A，Q个法向量
直线上任意一点，则PQ?(x1?x0,y1?y0)。
从而点P到直线的距离为：
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点到直线的距离公式的七种推导方法-2之欧阳科创编
