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圆锥曲线与方程--椭圆
知识点
一．椭圆及其标准方程
1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数2a??F1F2?的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；
这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 （2a?F1F2时为线段F1F2，2a?F1F2无轨迹）。 2．标准方程： c2?a2?b2
x2y2①焦点在x轴上：2?2?1（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）
aby2x2②焦点在y轴上：2?2?1（a＞b＞0）； 焦点F（0, ±c）
ab注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；
x2y2?1 或者 mx2+ny2=1 ②两种标准方程可用一般形式表示：?mn二．椭圆的简单几何性质： 1.范围
x2y2 （1）椭圆2?2?1（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b
aby2x2 （2）椭圆2?2?1（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a
ab 2.对称性
椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点
（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）
（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率
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（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比
22cc，即称为椭圆的离心率， 2aac2b2e??1?() 记作e（0?e?1），2aa e?0是圆；
e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;
e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；
注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
小结一：基本元素
（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量）， 特征三角形 （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 5．椭圆的的内外部
22xy00x2y2???1. （1）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的内部22abab（2）点P(x0,y0)在椭圆6.几何性质
xy?a2b22222x0y0?1(a?b?0)的外部?2?2?1.
ab（1）点P在椭圆上， 最大角??F1PF2?max??F1B2F2, （2）最大距离，最小距离 7.直线与椭圆的位置关系
（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； （2）弦长公式： （3）中点弦问题：韦达定理法、点差法
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例题讲解： 一.椭圆定义： １．方程
?x?2?2?y2??x?2?2?y2?10化简的结果是 2．若?ABC的两个顶点A??4,0?,B?4,0?，?ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是
x2y23.已知椭圆＋=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为
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二．利用标准方程确定参数
x2y21.若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是 .
5?kk?3（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . （3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k的取值范围是 .
2.椭圆4x2?25y2?100的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,
x2y2?1的焦距为2，则m= 。 3．椭圆?4m4．椭圆5x2?ky2?5的一个焦点是(0,2)，那么k? 。 三．待定系数法求椭圆标准方程
1．若椭圆经过点(?4,0)，(0,?3)，则该椭圆的标准方程为 。 2．焦点在坐标轴上，且a2?13，c2?12的椭圆的标准方程为 3．焦点在x轴上，a:b?2:1，c?6椭圆的标准方程为
4. 已知三点P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0），求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
变式：求与椭圆4x2?9y2?36共焦点，且过点(3,?2)的椭圆方程。
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四．焦点三角形
x2y2?1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则?ABF2的周长是 。 1．椭圆?9252．设F1，F2为椭圆16x2?25y2?400的焦点，P为椭圆上的任一点，则?PF1F2的周长是多少？?PF1F2的面积的最大值是多少？
x2y2?1上的一点，F1,F2是焦点，若?F1PF2是直角，则?F1PF2的面积3．设点P是椭圆?2516为 。
变式：已知椭圆9x2?16y2?144，焦点为F1、F2，P是椭圆上一点． 若?F1PF2?60?， 求?PF1F2的面积．
五．离心率的有关问题
x2y21?1的离心率为，则m? 1.椭圆?4m22.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为1200，则此椭圆的离心率e为 3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为
4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。
5.在△ABC中，?A?300,|AB|?2,S?ABC?3．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e? ．
六、最值问题：
x2?y2?1，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小1、已知椭圆4
值 。
x2?y2?1两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____， 2.椭圆4
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七、弦长、中点弦问题
1、已知椭圆4x2?y2?1及直y?x?m线． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
x22已知椭圆?y2?1，
2210，求直线的方程． 5 (1)求过点（1,0）且被椭圆截得的弦长为22的弦所在直线的方程
?11? （2）求过点P?，?且被P平分的弦所在直线的方程；
?22?
同步测试
1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )
A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线
x2y2??1左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则?CDF1的周长为______ 2、椭圆
169x2y2??1表示椭圆，则k的取值范围是( ) 3已知方程
1?k1?k A -1
4、求满足以下条件的椭圆的标准方程
(1)长轴长为10，短轴长为6
(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2)
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