N(2,2,0)代数的拟左（右）陪集及其性质 - 图文 

Pure Mathematics 理论数学, 2020, 10(5), 471-477

Published Online May 2020 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/pm https://doi.org/10.12677/pm.2020.105057

Near Left (Right) Coset and Properties of the N(2,2,0) Algebras

Fang’an Deng

School of Mathematics and Computer Science, Shaanxi University of Technology, Hanzhong Shaanxi

Received: Apr. 18, 2020; accepted: May 8, 2020; published: May 15, 2020

ththth

Abstract

In this paper, the concept on near left (right) coset of N(2,2,0) algebras is introduced. Some re-lated properties are obtained. Relations between N(2,2,0) algebras and Q-algebra, CI-algebra

and quantum B-algebra are investigated.

Keywords

N(2,2,0) Algebra, Near Left (Right) Coset, Q-Algebra, CI-Algebra, Quantum B-Algebra

N(2,2,0)代数的拟左(右)陪集及其性质

邓方安

陕西理工大学数学与计算机科学学院，陕西 汉中

收稿日期：2020年4月18日；录用日期：2020年5月8日；发布日期：2020年5月15日

摘 要

本文提出了N(2,2,0)代数的左(右)陪集的概念，讨论了左(右)陪集的性质，揭示了N(2,2,0)代数与Q-代数、CI-代数及量子B-代数的关系。

关键词

N(2,2,0)代数，拟左(右)陪集，Q-代数，CI-代数，量子B-代数

文章引用: 邓方安. N(2,2,0)代数的拟左(右)陪集及其性质[J]. 理论数学, 2020, 10(5): 471-477. DOI: 10.12677/pm.2020.105057

邓方安

Copyright ? 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Open Access 1. 引言

1990年，吴望名[1]在研究逻辑系统中的蕴涵关系时提出了模糊蕴涵代数(简称FI代数)。FI代数一度引起了同行的广泛关注，如，徐扬[2]、刘练珍[3]研究了格蕴涵代数，讨论了FI代数与MV代数间的关系，邓方安[4]在研究FI代数的过程中对模糊蕴涵代数的模糊蕴涵算子从代数学角度做了进一步抽象，提出了N(2,2,0)代数。文献[5]研究了N(2,2,0)代数的子代数、理想与关联理想；文献[6]研究了N(2,2,0)代数的RC-半群；文献[7]引入并讨论了N(2,2,0)代数的中间单位的性质。本文提出N(2,2,0)代数的拟左(右)陪集的概念，并讨论它的性质。

2.

N(2,2,0)代数的拟左(右)陪集的性质

定义2.1 [4] 设S是含常元0的集合。若在S中定义二元运算?和?满足以下公理：?x,y,z∈S， (F2) (x?y)?z=y?(x?z)， (F3) 0?x=x

(F1) x?(y?z)=z?(x?y)，

则称(S,?,?,0)是一个N(2,2,0)代数。

定理2.1 [4] 若(S,?,?,0)是N(2,2,0)代数，则?x,y,z∈S，下列等式成立： (1) x?y=y?x；

(2) (x?y)?z=x?(y?z),(x?y)?z=x?(y?z)； (3) x?(y?z)=y?(x?z),(x?y)?z=(x?z)?y。

推论1 [4] 若(S,?,?,0)是一个N(2,2,0)代数，则(S,?,0)和(S,?,0)都是半群。 因此，N(2,2,0)代数是带有一对对偶半群的双半群。

定义2.2 设(S,?,?,0)是一个N(2,2,0)代数，在半群(S,?,0)中定义集合

BS={x∈S|x?0=0}.

显然0∈BS，即BS非空。?x,y∈BS，有

(x?y)?0=x?(y?0)=x?0=0?x?y∈BS,

因此BS是S的子代数。

再定义集合

aBS={a?x|a∈S,x∈BS}, BSa={x?a|x∈BS,a∈S}

分别称为半群(S,?,0)关于子代数BS的拟左陪集和拟右陪集。

定理2.2 设(S,?,?,0)是一个N(2,2,0)代数，则半群(S,?,0)的拟左陪集就是半群(S,?,0)的拟右陪集。

?x,y∈S，证明 由于一个N(2,2,0)代数(S,?,?,0)的半群(S,?,0)与(S,?,0)的特殊关系：x?y=y?x，

容易得出：半群(S,?,0)的拟左陪集

aBS={a?x|a∈S,x∈BS},

就是半群(S,?,0)的拟右陪集BSa={x?a|x∈BS,a∈S}。

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这里只研究拟左陪集，类似可以研究拟右陪集的性质。

在群里，对于任意一个群G，H≤G,?a,b∈G，则有下列性质成立： (1) ?a∈S?a∈aH； (2) a∈H?aH=H； (3) b∈aH?aH=bH；

(4) 若aH?bH≠?，则有aH=bH。

但在N(2,2,0)代数(S,?,?,0)的半群(S,?,0)与(S,?,0)中这些性质不再成立，下面的例子说明了这一点。

例1 设S={0,a,b,c}，定义S上的二元运算如下表1，表2：

Table 1. Example of Theorem 2.2(a) 表1. 定理2.2(a)

* 0 a b c

0 0 0 0 0

a a b a a

b b a b b

c c a b b

Table 2. Example of Theorem 2.2(b) 表2. 定理2.2(b)

Δ 0 a b c

0 0 a b c

a 0 b a a

b 0 a b b

c 0 a b b

容易验证：(S,?,?,0)是一个N(2,2,0)代数，且BS=S=aB=bB=cB=SSS{0,a,b,c}。而

{0,a,b},

显然aB=bB=cBS?BS。同时，a∈aBS,b∈BS，但c?cBS。 SS例2 设S={0,a,b,c}，定义S上的二元运算如下表3，表4：

Table 3. Example of Theorem 2.2(c) 表3. 定理2.2(c)

* 0 a b c

0 0 0 b 0

a a b a a

b b a b b

c c a b b

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Table 4. Example of Theorem 2.2(d) 表4. 定理2.2(d)

Δ 0 a b c

0 0 a b c

a 0 b a a

b b a b b

c 0 a b b

可以验证：(S,?,?,0)是一个N(2,2,0)代数，且=BSaB=cB=SS{0,a,c}?S。而

={0,a,b},bB{a,b}. S这说明在群里“aBS?bBS≠??aBS=bBS”在半群中不再成立。但c?cBS。

在群中?a∈S?a∈aBS成立，但在半群中，这个结论不一定成立。在上例中，有a∈aBS,b∈bBS，

定理2.3 设(S,?,?,0)是一个N(2,2,0)代数，则有?a∈S?0?aBS。 证明 由aBS={a?x|a∈S,x∈BS}可知，如果0∈aBS??x∈BS,x≠0，使得

a?x=0?x?0=x?(a?x)=(a?x)?x=0?x=x≠0

这与x∈BS矛盾，因此?a∈S?0?aBS。

定理2.4 设(S,?,?,0)是一个N(2,2,0)代数，则有下列结论成立： (1) a∈BS?aBS?BS；

(2) b∈aBS，如果b是a的右伴随非零零因子，则b?BS； (3) 若a∈aBS，且a∈BS，则a一定是幂等元； (4) BS?ES，其中ES是S的全体幂等元集合。

证明 (1) 设a∈BS，因为BS是S的子代数，故有aBS?BS；又任取x∈BS，由a∈BS，于是a?x∈BS，且

x=0?x=(a?0)?x=a?(0?x)=a?x∈aBS,

从而又得到BS?aBS。

(2) 设b∈aBS，令b=a?x，x∈BS，由b是a的右伴随非零零因子，则有

b?b=(a?x)?b=a?(x?b)=x?(a?b)=x?0=0,

于是一方面b?b?b=0?b=b，另一方面b?b?b=b?0，即b?0=b?b?BS。

(3) 由a∈aBS知，存在x∈BS，使得

a=a?x (*)

a=a?x=a?(0?x)=(a?0)?x=0?x=x

a∈BS再将x=a代入(*)式，就有a?a=a2=a?a∈ES。

(4) ?a∈BS?a?0=0?a?0?a=0?a?a?a=a?a∈ES，故BS?ES。

3. N(2,2,0)代数与Q-代数、CI-代数及量子B-的关系

定理3.1 若(S,?,?,0)是一个N(2,2,0)代数，?x,y∈S，则在半群(S,?,0)中有下列结论成立：

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(1) x?x=0?x?0=x;x?y=y?x； (2) x?0=0?x∈ES;x?y=y。

证明 (1) 由x?x=0?x?0=x?(x?x)=(x?x)?x=0?x=x； x?x=0?x?0=x?x?y=x?(y?0)=y?(x?0)=y?x；

(2) x?0=0?x2=x?x=0?x=x?x∈ES；

定义3.1 [8] 设X是带常元0的一个非空集，在X上定义二元运算?，满足下列公理：?x,y,z∈X， (Q1)x?x=0； (Q2)x?0=x；

x?y=x?(0?y)=(x?0)?y=0?y=y，即(S,?,0)是一个右零半群。

(x?z)?y

的代数系统(X,?,0)称为Q-代数。

例3 设X={0,1,2}，在X上定义二元运算如下表5：

Table 5. Example of Q-algebras 表5. Q代数示例

Δ 0 1 2

0 0 1 2

1 2 0 1

2 1 2 0

(Q3)(x?y)?z=

不难验证(X,?,0)是一个Q-代数。

根据N(2,2,0)代数的性质和定义2.3易得：

定理3.2 在N(2,2,0)代数(S,?,?,0)中，如果?x∈S,x?x=0，则半群(S,?,0)是一个Q-代数。

?x,y,z∈X， 定义3.2 [9] [10] 设X是带常元0的一个非空集，在X上定义二元运算?，满足下列公理：

(CI1) x?x=0； (CI2) 0?x=x；

(CI3) x?(y?z)=y?(x?z) 的代数系统(X,?,0)称为CI-代数。

例4 设X={0,a,b}，在X上定义二元运算如下表6：

Table 6. Example of CI-algebras 表6. CI代数示例

? 0 a b c

0 0 0 0 0

a a 0 a 0

b b b 0 0

c c b a 0

可以验证(X,?,0)是一个CI-代数。 由定理2.1容易得到：

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