小学奥数 5-4-4 完全平方数及应用（一）.教师版

由天下分享时间：2024/11/2 16:25:55 加入收藏我要投稿点赞

5-4-4.完全平方数及应用（一）

教学目标

1. 学习完全平方数的性质；

2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。

知识点拨

一、完全平方数常用性质 1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数a2，则p能被a整除。

2.性质

性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．

性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因

数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且p2n?1|N，则

p2n|N．

性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数．

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个

位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．

3.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾：平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b)

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例题精讲

模块一、完全平方数计算及判断

【例 1】已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】解答【解析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝112；

12321＝1112；1234321＝11112……，于是，我们归纳为1234…n…4321=(1111)2，所以，

n个11234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中

原式乘积为7777777的平方．

【答案】7777777

【例 2】 1234567654321?(1?2?3?4?5?6?7?6?5?4?3?2?1)是的平方．【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】填空【关键词】祖冲之杯

【解析】 1234567654321?11111112，1?2?3?4?5?6?7?6?5?4?3?2?1?72，

原式?(1111111?7)2?77777772．【答案】7777777

【例 3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，第9题

【解析】（法1）先将12！分解质因数：12!?210?35?52?7?11，由于12!除以n得到一个完全平方数，那

425，么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为210?3?所以n最小为

12!?210?34?52?3?7?11?231。

（法2）12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数，所以n的最小值是3?7?11?231。

【答案】231

【例 4】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所

以所求的数最小是4位数．考察1111，1444……可以知道1444?38?38，所以满足条件的最小正整数是1444．

【答案】1444

【例 5】 A是由2002个“4”组成的多位数，即4442002个44，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；

如果不是，请说明理由．

【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】略

【答案】A?4444?22?1111．如果A是某个自然数的平方，则1111也应是某个自然数的平方，

2002个42002个12002个1并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而1111?1?11110不是4的倍数，矛盾，所以A不是某个自然数的平方．

2002个12001个1

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【巩固】 A是由2008个“4”组成的多位数，即444，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；

2008个4如果不是，请说明理由．

【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】略

【答案】不是．A?444?22?111假设A是某个自然数的平方，则111也应是某个自然数的平方，并且

2008个42008个12008个1是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而111?1?1110不是4的倍数，与假设矛盾．所以A不是某个自然数的平方．

2008个12007个1

【例 6】计算1111－2222004个11002个22=A×A，求A．

【考点】完全平方数计算及判断【难度】4星【题型】解答【解析】此题的显著特征是式子都含有1111，从而找出突破口.

n个11111－2222004个11002个22=11110001002个11002个00－1111

1002个1 =1111×（10001002个11002个00-1） 9）

=1111×（9991002个11002个9 =1111×（1111×3×3）=A2

1002个11002个1所以，A＝3333.

1002个3【答案】3333

1002个3

【例 7】 ①4442004个4488889?A2，求A为多少?

2003个8 ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？【考点】完全平方数计算及判断【难度】4星【题型】解答【解析】 ① 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：

注意到有4442004个4488889可以看成444n个44888n-1个889，其中n＝2004；

2003个8寻找规律：当n=1时，有49?72；

当n=2时，有4489?672；

当n=3时，有444889?6672 ……

于是，类推有4442004个4488889=666672

2003个82003个6 方法二：下面给出严格计算：

4442004个4488889=4442004个440002004个00+8888+1；

0+8）+1

9+1）+8］+1 9）+12］+1

2003个82004个8则4442004个440002004个00+8888+1＝1111×（4×10002004个12004个02004个8＝1111×［4×（9992004个12004个9＝1111×［4×（9992004个12004个9＝(1111)2×36+12×1111+1

2004个12004个15-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版 page 3 of 9

＝(1111)2×36+2×（6×1111）+1

2004个12004个1＝(666 ② 由①知444 n个466?1)2?(66667)2

2004个62003个64888n-1个889＝6664888166个8672，于是数字和为(4n+8n-8+9)=12n+1；令12n+1=2005

672。所以存在这样的数，是444 167个4n-1个6解得n=167，所以444 167个489=6664888166个889

166个6【答案】（1）666672,（2）444 167个44888166个889=666672

2003个6166个6模块二、平方数特征（1）平方数的尾数特征

【例 8】下面是一个算式：1?1?2?1?2?3?1?2?3?4?1?2?3?4?5?1?2?3?4?5?6，这个算式的得数

能否是某个数的平方？

【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，

5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．

【答案】不是

【例 9】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位

数共有________个．

【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第10题【解析】 49?1?4?9?25，1,2,3,5全排列共有24个。【答案】24

【例 10】用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平

方数．那么，其中的四位完全平方数最小是．

【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，复试，11题【解析】四位完全平方数≥1234＞352＝1225，所以至少是362＝1296．当四位完全平方数是1296时，另两

个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位只能是2，但数字2在1296中已经使用．当四位完全平方数是372＝1369时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位一样只能是2，还剩下7,8，而784恰好为282．所以，其中的四位完全平方数最小是1369．

【答案】1369

【例 11】称能表示成1+2+3+…+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角数，又是完

全平方数，N= 。

【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14题【解析】 N=k×(1+k)/2=m^2，4位数的话 2000<=k×(k+1)<20000, 45<=k<=140，k=2n n*(2n+1)=N。 n

与2n+1 互质，所以要均为平方数。平方数末尾149650。满足要求的是4950。 23<=n<=70 发现没有：k=2n-1， n×(2n-1)=N 同上，满足要求是1650找到25 所以 k=49， N=1225， m=35。

【答案】1225

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（2）奇数个约数——指数是偶数

【例 12】在2?2?4，3?3?9，4?4?16，5?5?25，6?6?36，……等这些算是中，4，9，16，25，

36，……叫做完全平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方数是_________。

【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第4题，5分【解析】 45×45=2025；44×44=1936，所以最大的是1936. 【答案】1936

【例 13】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】解答【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.

如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)

如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?

18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．

即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．

【答案】361,400,441,484,529,576,625

【例 14】 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】填空

【解析】先将1016分解质因数：1016?23?127，由于1016?a是一个完全平方数，所以至少为24?1272，故

a最小为2?127?254．

【答案】254

【巩固】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】填空

【解析】 3528?23?32?72，要使3528a是某个自然数的平方，必须使3528a各个不同质因数的个数为偶数，

由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以a为2可以使3528a是完全平方数，故a至少为2．

【答案】2

【例 15】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】3星【题型】解答【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而72?23?32?2?6?6，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，