【点评】本题主要考查计数方法的知识点，熟练掌握计数原理，此题难度有点大，第二问很容易漏掉一种或几种．
15．（10分）如图，在六边形的顶点处，分别标上数3，4，5，6，7，8，能否使任意三个相邻顶点处的三个数之和 （1）大于15？
（2）大于16？若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由．
【分析】（1）可以分别设这六个数为a，b，c，d，e，f然后将其三个数相加，根据题中给出的条件可知，这把各数的和判断即可得出结论． （2）根据上题的出的结论直接判断即可解答．
【解答】解：（1）能，如图．6个点的顺序分别为8﹣3﹣6﹣7﹣4﹣5．任意三个相邻顶点处的和分别为17﹣16﹣17﹣16﹣17﹣16．满足均大于15，
（2）但不满足均大于16． 方法一：
如图，设按要求所填的六个数顺次为a、b、c、d、e、f．它们任意相邻三数和大于16， 即大于或等于17．所以a+b+f≥17，b+c+d≥17，c+d+e≥17，d+e+f≥17，e+f+a≥17，f+a+b≥17．
则每个不等式左边相加一定大于或等于102，即3（a+b+c+d+e+f）≥102
故（a+b+c+d+e+f）≥34．而1+2+3+4+5+6＝33，所以不能使每三个相邻的数之和都大于16． 方法二：
如图，设按要求所填的六个数顺次为a、b、c、d、e、f．它们任意相邻三数和大于16，即大于或等于17．所以a+b+f≥17，c+d+e≥17 故（a+b+c+d+e+f）≥34．而1+2+3+4+5+6＝33，所以不能使每三个相邻的数之和都大于16．
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【点评】此题主要考查了整数问题的综合应用，分别得出相邻数据之和规律是解题关键． 16．（10分）如图，时钟在四点到五点之间，什么时刻时针与分针成一直角？
【分析】时针在四点与五点之间，时针与分针有2种可能会成直角，四点与五点成30度角，时针每分钟走0.5度，而分针每分钟走6度．并且时针与分针成直角分两种情况进行讨论．
【解答】解：时针每分钟走0.5度，而分针每分钟走6度，4点钟时针与分针角度为120度，设时针在四点x分钟时，时针与分针成直角，分两种情况讨论： （1）时针在分针前面时，120﹣6x+0.5x＝90 解得x＝5
；
（2）时针在分针后面时，6x﹣120﹣0.5x＝90 解得x＝38所以在4点5
；
分或者4点38
分时，时针与分针成直角．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意四点到五点之间，时针与分针成直角有两种情况．
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2007年第18届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初一第1试)
