高等数学试题
一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
2( x+1)
1．设f ( x) =l nx ，且函数( x) 的反函数?1( x) = ，则f ?( x)? ? （
x- 1
x- 2A.l n
x+2 0
）
2. lim
x?0
et ? e?t ? 2?dt ??x
1? cos x
x+2B.l n
x- 2 2- xC.l n
x+2 x+2D.l n
2- x
? （
） C．-1
D． ??
）
C. dy ? 0
D. ?y ? dy
A．0
3. 设?y ?
?x?0
B．1
f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) 且函数 f (x) 在 x ? x0 处可导，则必有（
B. ?y ? 0
A. lim ?y ? 0
? 2x2, x ? 1
4. 设函数f ( x) =? ，则f ( x) 在点x=1处（
3x ?1, x ? 1 ?
A. 不连续
2
）
C.连续但不可导
D. 可导
B.连续但左、右导数不存在
）
D. - 2e- x
2
5．设?xf ( x) dx=e- x? C ，则f ( x) = （
A. xe- x
2
B. - xe- x
2
C. 2e- x
2
二、填空题（本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设函数 f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数 f(x+ )+f(x- )的定义域是
1 1
7． lim ?a ? aq ? aq2 ??? aqn ?? q ? 1? ?
n???
4 4
.
8. lim arctan x ?
x??
x9. 已知某产品产量为 g 时，总成本是C( g) =9+
，则生产 100 件产品时的边际成本MC g ?100 ?
800
g
2
3函数 f (x) ? x ? 2x 在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是 10. 32函数 y ? 2x ? 9x ?12x ? 9 的单调减少区间是 11. .
.
12.
??,则a ? 设
13. ??a
et ?1 6 cos2 x 设 z ? 则 dz= 14. y
2ln 2
微分方程 xy '? y ? 1? x3 的通解是
.
.
dt
.
15.设 D ? (x, y) 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1，则
??
?? xe?2 ydxdy ? D
.
三、计算题（一）（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） x
? 1 ? 16.设 y ? ? ??，求 dy.
? x ??
17. 求极限 lim ln cot x
x?0??
ln x
18. 求不定积分
1 ???5x ?1? ln ?5x ?1??dx.
I= 19. 计算定积分
??a 0 a2 ? x2 dx.
2z
设方程 x y ? 2xz ? e ? 1确定隐函数 z=z(x,y)，求 z ' , 。 x z ' y 20.
四、计算题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
v 的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径 r 和高 h 分别为多少时，所用材料最省？ 21. 要做一个容积为
22.
计算定积分 x sin2 xdx
0
?
?
2 ? sin y
x
23. 将二次积分I ?
?dx?
0
y
dy 化为先对 x 积分的二次积分并计算其值。
五、应用题（本题 9 分） 已知曲线 y ? x2 ，求 24.
（1） 曲线上当 x=1 时的切线方程；
（2） 求曲线 y ? x2 与此切线及 x 轴所围成的平面图形的面积，以及其绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积V x .
六、证明题（本题 5 分）
25．证明：当x>0 时， x ln(x ? 1? x2 ) ? 1? x2 ?1
参考答案
一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
1. 答案：B
2. 答案：A
3. 答案：A 4. 答案：C 5. 答案：D
二、填空题（本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分）
? 1 3 ?
, ?? 4 4 ???? ?a
7. 答案： 1? q
6．答案：
8. 答案：0
9. 答案：
1
4 1
10. 答案：
12. 答案： 3 x3 2
11．答案：（1，2）
?1? Cx
13. 答案： a ? ln 2
?
1 ??cos2 x dy ??
14. 答案： ? ?sin 2xdx ????y y ? ??
1
15．答案： ?1? e?2 ??4 ?
?
三、计算题（一）（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
? 1 ?
??ln x ?1? 16. 答案： ? ? dx
?x ??
17．答案：-1
18.
x
2 ? 答案： ln ?5x ?1??C 5 4
'
19. 答案： a
22xy ? 2z
z
20. 答案： Zx ??
，Z ??y
2x ? e 2x ? ez
'
x2
四、计算题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
V V
21．答案： r0 ? ，h0 ? 2 ??3 4V 2 r0
3 22. 答案： 23. 答案：1
2
4
五、应用题（本题 9 分）
24. 答案：（1） y=2x- 1（2）
1 12
，
1
30
3
? 12 2? 1 1 y ?1 ?2 y ?1? y )dy ? ? ? （2） 所求面积 S ? ? ( y ???? ??0 2 4 3 ? ? 0 12
1 2 2 1 2 1 ? ? ? ??所求体积Vx ? ??x ??dx ? ??1 0 3 2 5 6 30
六、证明题（本题 5 分） 25．证明：
?
?
? f (x) ? x ln(x ??1? x2 ) ? 1? x2 ?1
2x 1??22 1? x ? x 21? x ) ? x ? f '(x) ? ln(x ??x ? 1? x2 1? x2 x x21? x ) ? ? ? ln(x ??21? x 1? x2 ? ln(x ??1? x2 ) ? x ? 0
?2? x ??1? x ? 1
? f '(x) ? ln(x ? 1? x2 ) ? 0
故当 x ? 0 时 f (x) 单调递增，则 f (x) ??f (0), 即
x ln(x ? 1? x2 ) ? 1? x2 ?1
高等数学试题及答案(可编辑修改word版)
