第三章 多维随机变量及其分布
1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：
??0,若第一次取出的是正品X????1,若第一次取出的是次品??0,若第二次取出的是正品Y????1,若第二次取出的是次品,?,?
试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。
解：（1）放回抽样情况
由于每次取物是独立的。由独立性定义知。
P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=
或写成
X Y 0 1 （2）不放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=
10945?? 12116610210?? 12116630
101025?? 1212361025?? 1212362105?? 121236221?? 1212360 25 365 361 5 361 36
P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=
或写成
X Y 0 1 0 21010 ??121166211 ??1211661 10 661 6645 6610 663.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。
X Y 0 1 2 0 0 0 1 351 0 6 356 352 3 3512 353 353 2 352 350 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为
P {X=0, Y=2 }=
C2C2C71422?1 35P {X=1, Y=1 }=
C3C2C2C71412?6 35P {X=1, Y=2 }=
C3C2C24C721?6 35P {X=2, Y=0 }=
C3C2C72422?3 35P {X=2, Y=1 }=
C3C2C2C7411?12 3531
P {X=2, Y=2 }=
C3C2C34722?3 35P {X=3, Y=0 }=
C3C2C7341?2 35P {X=3, Y=1 }=
C3C2C741?2 35P {X=3, Y=2 }=0
??k(6?x?y),0?x?2,2?y?45.[三] 设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)??
?0,其它?（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5}
（2）求P {X<1, Y<3} （4）求P (X+Y≤4}
分析：利用P {(X, Y)∈G}=??f(x,y)dxdy?G??G?Dof(x,y)dxdy再化为累次积分，其
中Do?0?x?2,?????(x,y)?
2?y?4????解：（1）∵1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?1 8（2）P(X?1,Y?3)??10dx?3213(6?x?y)dy? 88（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)??1.50dx?4218(6?x?y)dy?2732
?20dx?4?x012 (6?x?y)dy?836．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 y （2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 解：（1）① 放回抽样（第1题）
X Y 0 1
0 25 365 361 5 361 3632
2 x+y=4 1 o x 边缘分布律为
X Pi·
0
56
1
16
Y P·j
0
56
1
16
② 不放回抽样（第1题）
X Y 0 1
边缘分布为
X Pi·
0
56
0 45 6610 661 10 661 661
16
Y P·j
0
56
1
16
（2）（X，Y ）的联合分布律如下
X Y 0 3 0 0 1 81 3 82 3 83 0 1 8
0 2
3
0
解： X的边缘分布律
X 0 Pi·
18
Y的边缘分布律 Y
1
68
1
38
3
28
3818 P·j
7.[五] 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为
??4.8y(2?x)f(x,y)????00?x?1,0?y?x其它求边缘概率密度.
解：fX(x)???????x2?4.8y(2?x)dy?2.4x(2?x)f(x,y)dy??0??0?0?x?1其它
fY(y)??????12???4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y)f(x,y)dx??y??00?y?1其它
8.[六] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
33
?e?y,0?x?y?求边缘概率密度。 f(x,y)???0,其它.?y x=y 解:fX(x)??????????y?xedy?e,x?0? f(x,y)dy??x?x?0?0,? fY(y)????????f(x,y)dx?????y0e?ydx?ye0,?y,y?0,y?0,o
x ?cx2y,x2?y?1?9.[七] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)??
?0,其它?（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l=??????????f(x,y)dxdy??10dy???yycxydx?c2?1022421 ydy?c?c?32145212?12124??2xydy?x(1?x),?1?x?1 X~fX(x)??x4 8?0,其它?y ???Y~fY(y)??????yy214dydx?02725y20?y?1其它y=x2
o x 15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。 解：放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 } = P {X=0}·P {Y=0} =P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=
在放回抽样的情况下，X和Y是独立的 不放回抽样的情况：
P {X=0, Y=0 } =
25 365 365 361 3610945?? 12116634
概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章
