就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的 图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取x1，x2∈D，且x1 2 作差f(x1)－f(x2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ○ 5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． ○ (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 第 6 页 共 13 页 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○ 2确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)○ 是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或 f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10．函数最大（小）值（定义见课本p36页） 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○ 2 利用图象求函数的最大（小）值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○ 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 例题： 1.求下列函数的定义域： ⑴y?x2?2x?15 ⑵y?1?(x?1)2 x?1x?3?3第 7 页 共 13 页 2.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _ 3.若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是 ?x?2(x??1)?4.函数 ，若f(x)?3，则x= f(x)??x2(?1?x?2)?2x(x?2)?5.求下列函数的值域： ⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2] (3) y?x?1?2x (4)y??x2?4x?5 6.已知函数f(x?1)?x2?4x，求函数f(x)，7.已知函数 f(2x?1)的解析式 f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4，则f(x)= 。 8.设f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时,f(x)?x(1?3x),则当x?(??,0)时 f(x)= f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： ⑴ y?x2?2x?3 ⑵y??x2?2x?3 ⑶ y?x2?6x?1 10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论． 21?x11.设函数f(x)?判断它的奇偶性并且求证：f(1)??f(x)． 21?xx 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． ? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n0?0。 当n是奇数时，nan?a，当n是偶数时，nan?|a|??第 8 页 共 13 页 n?a(a?0) ??a(a?0)2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： mna?nam(a?0,m,n?N*,n?1)mn， a??1amn?1nam(a?0,m,n?N*,n?1) ? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）a·a?arrr?s x(a?0,r,s?R)； (a?0,r,s?R)； (a?0,r,s?R)． rsrs(a)?a（2） rrs(ab)?aa （3） （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 650 在R上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a，b]上，f(x)?a(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或 第 9 页 共 13 页 x[f(b),f(a)]； （2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； （3）对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1)，总有f(1)?a； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果a?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：x?logaN（a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式） 说明：○1 注意底数的限制a?0，且a?1； x2 a○ xx?N?logaN?x； 3 注意对数的书写格式． ○ 两个重要对数： logaN 1 常用对数：以10为底的对数lgN； ○ 2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN． ○ ? 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ab＝ N?logaN＝ b 底数 指数 对数 （二）对数的运算性质 如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： 1 loga(M·N)?logaM＋logaN； ○ M?logaM－logaN； N3 logaMn?nlogaM (n?R)． ○ 2 loga○ 注意：换底公式 logab?logcb （a?0，且a?1；c?0，且c?1；b?0）． logca第 10 页 共 13 页
高一数学必修一知识点总结
