课时跟踪训练
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)． (1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式． 解：(1)证明：n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1. 当a≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1， 4
整理得an＝an－1，
3又a1＝1≠0，
4
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列．
34?n－1*
(2)∵an＝??3?，由bn＋1＝an＋bn(n∈N)， 4?n－1得bn＋1－bn＝??3?.
4?n－1
1－??3?4?n
当n≥2时，可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋＝3×??3?4
1－3
－1－1，
当n＝1时，上式成立，
4?n－1
∴数列{bn}的通项公式为bn＝3×??3?－1.
2．(2014年全国大纲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；
1(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
anan＋1
解：(1)由a1＝10，a2为整数知：等差数列{an}的公差d为整数． 又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0， 于是10＋3d≥0,10＋4d≤0. 105解得－≤d≤－. 32因此d＝－3.
数列{an}的通项公式为an＝13－3n.
11?1－1?
(2)bn＝＝??.
?13－3n??10－3n?3?10－3n13－3n?于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn
1??11??11??1－1??
－－＝??710?＋?47?＋…＋??? 3??10－3n13－3n??1?1－1?＝? 3?10－3n10??＝
n
. 10?10－3n?
3．在公差不为零的等差数列{an}中，已知a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列．数列{bn}满足bn＋1＝2bn－1，且b1＝3.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
?2?1
?的前n项和为Sn，试比较Sn与1－的大小． (2)设数列?a·
bn?nan＋1?
解：(1)因为a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列， 所以a2a5，即(1＋d)2＝1·(1＋4d)， 2＝a1·
所以d2－2d＝0，解得d＝2(d＝0不合要求，舍去)， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
因为bn＋1＝2bn－1，所以bn＋1－1＝2(bn－1)，
所以{bn－1}是首项为b1－1＝2，公比为2的等比数列． 所以bn－1＝2×2n－1＝2n. 所以bn＝2n＋1.
2211
(2)因为＝＝－，
an·an＋1?2n－1??2n＋1?2n－12n＋111??11??1－1??所以Sn＝?1－3?＋?3－5?＋…＋?2n－12n＋1?
??1
＝1－，
2n＋1
n
2n－211111?于是Sn－??1－bn?＝1－2n＋1－1＋2n＋1＝2n＋1－2n＋1＝?2n＋1??2n＋1?. 1
所以，当n＝1,2时，2n＝2n，Sn＝1－；
bn
1
当n≥3时，2n＜2n，Sn＜1－.
bn
4．(2014年湖北高考)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4. 当d＝0时，an＝2；
当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，
从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2. (2)当an＝2时，Sn＝2n. 显然2n＜60n＋800，
此时不存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立． n[2＋?4n－2?]当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.
2令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0， 解得n＞40或n＜－10(舍去)，
此时存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值为41. 综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；
当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.
1
5．已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1＋a1，S2＋a2，S3
2＋a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
Tn＋21
(2)若bn＝an·log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式≥的最大值n.
n＋2161
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由题知a1＝，
2又∵S1＋a1，S2＋a2，S3＋a3成等差数列，
2024届高考数学(理)二轮复习专题练习：课时作业+1-4-2(人教版含解析)
