9. 氢原子波函数为
? 1 ?2 10
100
?
210
??2
211
??3310
x
??
，其中
nlm 是氢原子
的能量本征态，求 E 的可能值、相应的概率及平均值。 n?
Asin
0 ? x ? a
10. 体系在无限深方势阱中的波函数为
? (x) ? ??
??0
a
x ? 0
x ? a ，求归
一化常数 A 。
11.
?0 0 ? x ? a
U ? x? ? ?? x ? 0, x ? a
? 质量为 m 的粒子沿 x 轴运动，其势能函数可表示为： ，
求解粒子的归一化波函数和粒子的能量。
?x? ??
4
sin
?
?
12. 设质量为粒子处在（ 0 ， a ）内的无限方势阱中，
a
???x cos2 x ?? ? ? ??a ? ? ? a ? ，
对它的能量进行测量，可能得到的值有哪几个？概率各多少？平均能量是多少？
1 u ?x? ? cu ?x?? u ?x? ?? ?x? ??0 2 3 2 3 。其中， un ?x??13. 谐振子的归一化的波函数：
是归一化的谐振子的定态波函数。求： c 和能量的可能取值，以及平均能量 E 。
1
一、选择题
1．4185：D 2．4244：B 3．4383：D 4．4737：D 5．4190：C 6．4197：C 7．4748：A 8．4750：C 9．4241：A 10．4770：A 11．4428：A 12．4778： 13．5619：C 14．8020：D 15．4965：B 16．8022：D 17．4785：A 18．4222： D
19．4789：C 20．8032：B 21．9900：A 22．9901：C 二、填空题
/--------- 1 分； h / -------- 2 分； h /(c) ---------------- 2 1．4179： hc 分
2．4180：
3．4388： 4．4546： 5．4608： 6．4611： 分
7．4191： －0.85---------------2 分； －3.4 --------------- 2 分 8．4192： 13.6----------------- 2 分； 3.4 ----------------- 2 分 9．4200： 6----------------------2 分； 973 --------------- 2 分 10．4424： 10.2 ------------------- 3 分 11．4754： 4 1------------2 分； 4 3---------------- 2 分 12．4755： 1-----------------------2 分； 2 ---------------- 2 分 13．4760： 6.56×1015 Hz------- 3 分 14．4207： 15．4429： 16．4629： 17．4630： 18．4203：
2.5---------------------2 分； 4.0×1014 ---------------- 2 分 0.99 -------------------- 3 分 1.5×1019 ------------------ 3 分 1.5 -------------------- 3 分
不变-----------------1 分； 变长----------------1 分； 波长变长 --------- 1
1/ 3 ----------------3 分
0.0549 ---------------- 3 分
1.45 ?-----------------2 分；6.63×10-19 ? ------------------- 2 分 0.1 ? ------------------- 3 分 粒子在 t 时刻在(x，y，z)处出现的概率密度 ------- 2 分
单值、有限、连续 ----------------------------- 1 分
???
d x d y d z ? 1 ------------------------------------- 2 分
2
19．4632： 1.33×10-23 ----------------------------------- 3 分
20．4221： 2-------------------1 分；2×(2l+1)-------------2 分；2n2 ---------------------- 2 分
1 1
?
2 ------------------------- 2 分 21．4782： 2 -------------------2 分；
---------------------- 各 1 分 22．4784： 0， 2 ， 6
23．4963： 8 -------------------------------------------------- 3 分
24．4219： 泡利不相容---------------2 分； 能量最小 ---------- 2 分
25．4635： 一个原子内部不能有两个或两个以上的电子有完全相同的四个量子数 (n、l、ml、ms) -------------------------- 3 分 26．4787： 4 --------------------- 3 分
1
27．4967： 1，0，0， 2 ------------ 2 分；
1 1
?
------------------- 2 分 2，0，0， 2 或 2，0，0， 2
?
28．4969： 7 ---------------------------- 3 分
1 1
? 2 )----------2 分； (1，0，0， 2 )----------------- 2 分 29．8025： (1，0，0，
30．4637：
31．4792： 32．4793： 33．4971： 34．5244：
n-----------------------2 分； p ------------- 2 分 n-----------------------2 分； 电子 ---- 2 分 p-----------------------2 分； 空穴 ---- 2 分 (2)、(3)、(4)、(5)-------3 分 答对 2 个 1 分 产生与维持光的振荡，使光得到加强 ----------------- 2 分 使激光有极好的方向性 ----------------------------- 1 分 使激光的单色性好 --------------------------------- 2 分
35．8034： 自发辐射和受激辐射-----------2 分； 受激辐射 ------- 2 分 36．8035： 相位、频率、偏振态、传播方向 --------------------- 3 分 37．8036： 工作物质、激励能源、光学谐振腔 ----------------- 各 1 分 2
?
2 ? ??? ?
H ? ??2 ? ? U Ly ? ?i (? x ? ?pi z ? x )
?x ?z 38． ?x ； ；
? ? ?? ? i??? ? 2 ? U ??2 ? U ??? ? i ? ???22?? ??????
??? ??t 或 ? 2?x 2 ?t ??? 2 ??39． ???
?
40．半奇数； 整数； 费米子
? z i p ；0；0；0； 1
11 E ? (n ? )
n
2 5 ， n ? 0，1，2，3……； 42． i41．
三、计算题
1 ． 4502 ： 解： 设光源每秒钟发射的光子数为 n ， 每个光子的能量为 h ， 则由：
P ? nh? nhc /得：
n ? P/(hc)
/(4?d 2 hc) --------------------------------------- 3 分
2
令每秒钟落在垂直于光线的单位面积的光子数为 n0，则：
n0 ? n / S ? n /(4?d 2 ) ? P2
m ? h/ c ? hc /(c ) ? h /(c) =3.33×10-36 kg ------------------------ 2 分 光子的质量：
2．4431：解：(1) 德布罗意公式：
? h /(mv)
B ? mv2 / R ， mv? qRB 由题可知? 粒子受磁场力作用作圆周运动： qv又 q ? 2e 则：
故：
mv? 2eRB --------------- 4 分
? h /(2eRB) ? 1.00 ?10?11 m ? 1.00 ?10?2 nm ------------ 3 分
(2) 由上一问可得
v ? 2eRB / m
对于质量为 m 的小球：
h h m m
? ? ? ? ?mv 2eRB m m
2
2
=6.64×10-34 m ----------- 3 分
3 分
? (h /3．4506：解： E K ? p /(2m ) e ) /(2m ) e--------------------------
=5.0×10-6 eV -------------------------------------- 2 分
4．4535：解：非相对论动能：
1
E ? m v2 K e
2
而
p ? m v e ， 故有：
p 2
EK ??2m e ---------------------------------------------- 2 分
又根据德布罗意关系有 p ? h /
则： 分 故：
1
E ? h 2 /(m 2 ) ??
e K
2 4.98×10-6 eV ---------------------- 2 分
2
代入上式 ------------ 1 分
e ? 2m c e ------------------- 1 5．4631：解：若电子的动能是它的静止能量的两倍，则： mc ? m c 2 2
m ? 3me ---------------------------------------- 1 分
m ? me / 1 ?v2 / c 2 3me ? me / 1 ?v2 / c 2
由相对论公式： 有： 解得：
v? 8c / 3 --------------------------------------- 1 分
? h /(mv) ? h /( 8mec) ? 8.58 ?10?13 m ---------------- 2 分
h h
? ?? ?
p mev 1.04×10-9 m =10.4 ? ----------------- 3 分 光电子的德布罗意波长为：
德布罗意波长为：
6．5248：解：
? h /(mev)
① -------------2 分 ②
③ ------------- 2 分
v2 ?v20 ? 2ad
eE ? me a
由①式： 由③式：
v ? h /(me) ??
7.28×106 m/s
0 由②式： = 0.0968 m = 9.68 cm ----------------------- 4 分
7．4430：解：先求粒子的位置概率密度：
a ? eE / me ? 8.78×1013 m/s2 d ? (v2 ?v2 ) /(2a)
2 (x) ? (2 / a) sin 2 (?x / a) ? (2 / 2a)[1 ? cos(2?x / a)] --------------------2 分
当： cos(2?x / a) ? ?1时，
(x) 有最大值．在 0≤x≤a 范围内可得 2?x / a ? ??
2
1 x ? a
2 --------------------------------3 分 ∴
2 ?x
d P ? 2 d x ? sin 2 d x
a a ------------------- 3 分 8．4526：解：
粒子位于 0 – a/4 内的概率为：
a / 4
a / 4 ?x ?x 2 2 a2 ?x 2
P ? ? sin d x ? ??sin d( )
a a a 0 a 0 a ? 1x 2 1 2x a / 4 2 1 ? a 1 2 a 2] ? [ 2 ? sin( )] ? [ ? sin
a 0 a 4 ? a 4 4 a 4 =0.091 --------- 2 分
E3 ， E1 、 E2 、 9. 解：根据给出的氢原子波函数的表达式，可知能量 E 的可能值为： E1 ? 13.6eV 、 E2 ? ?3.4eV 、 E3 ? ?1.51eV ---------------- 3 分 其中：
2
由于： 10 2
??1 10 2
?
2 10
2
??
3 10 2
2 ?
? 1
-----------------------1 分
2
所以，能量为 E1 的概率为
P1 ??P2 ??
10 1 10 3 10 2
?
2
2
5 ------------------ 1 分
3?
10 ---------------------1 分 10 2
2
能量为 E2 的概率为
?
?
P3 ??
能量为 3 的概率为
E
3
? 10
---------------------1 分
能量的平均值为： E ? P1 E1 ? P2 E2 ? P3 E3 ------------------------------------ 2 分
? ?6.913eV ------------------ 1 分
10. 解：由归一化条件，应有 0
?a
A2 sin 2
n
xdx ? 1 a -----------------------3 分
11.
2 a 得： ------------------------------- 2 分
解：当 x ? 0 或 x ? a 时，粒子势能无限大，物理上考虑这是不可能的，所以粒子
A ??
在该区域出现纪律为零，即：
?x? ? 0
2d 2
? ? E
? 0 ，定态薛定谔方程为： 2m dx 2 当0 ? x ? a 时， U ?x?
d 2 k 2? 0 2 2??2E / k ??dx ，则方程为： 设 通解为：?x? ? Asin kx ? B cos kx
由波函数的连续性可知，在 x ? 0 、 x ? a 处?x? ? 0 ，即：
?x? ? Asin 0 ? B cos 0 ? 0
?x? ? Asin?ka?? B cos?ka? ? 0 得： B ? 0 ； k ??
n
a ， n ? 1、2、3……
? n?
x? Asin ? ? n ? a ???
? ? ， n ? 12 所以有： 、2、3…… 2 22? n??x? dx ? ?x? dx ? A sin dx ? 1 ?? a a ? ? ?
??
归一化条件： ?
0
?
? x? ??A ??2
n
所以： a ，即：
0
2 sin ? n??
? a ??a ? ? ， n ? 1、2、3……
? a ??? ??
h2
?E ? En ? 2 n
2an ??1、2、3…… ， 粒子能量为：
22 ?x? ??
12. 解：
?
即
?x?是第一和第三个能量本征态的叠加，所以测得能量值可为：
1
? 2 2a 2 ，相应概率为： 2 （1）
2 192 2 1 ??
22 （2） 2a ，相应概率为： 2
22x x 2 ? ?x ? ? sin?x ??? 2x ???
sin??cos2 ?? ? ? ? ? ? ??? ?cos? ????sin?a ? ? ? ??a a a ? ??? a ? ?a ???? a ?x ?
? 1 2 sin??1 2 sin? 3x ??
? ? ? ??? ? ? ??a a 2 a 2 a
?
?
2
?
1
2
22 92 1 1
E ??22 2a 2 + 2 2a 所以，能量平均值为：
2 52 2
2
a
c ??解得：
2
13. 解：由归一化条件得： 1 1 ??? c 2 ? 1 3 2 2 2 1 6 根据谐振子波函数的表达式，可知能量 E 的可能值为： E0 、 E2 、 E3
1
因为：
?
所以：
? ?E ? n ? h
??n ? ? 2 ??1 5 E ? h E ? h 0 2
2 ； 2 ； E ? P0 E0 ? P2 E2 ? P3 E3 ??
7
E ? h 3
2 1
2
则：
1 ? h??1 ? h??1 7
? h
2 2 6 2 3 2
2
5
2
? 2h
《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题
